Question Number 148403 by Jonathanwaweh last updated on 27/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 27/Jul/21
![Soit G un point du plan contenant A et B. Alors G est le barycentre des points A et B affecte respectivement des coefficients a et b de somme non nulle a+b ≠ 0 si, par definition du barycentre : aGA^(→) +bGB^(→) = 0^(→) (1) Il vient que les vecteurs GA^(→) et GB^(→) sont colineaires et donc G appartient a la droite (AB). En outre (1) peut s′ecrire : (1) : aGA^(→) +b(GA^(→) +AB^(→) ) = 0^(→) AG^(→) = (b/(a+b))AB^(→) Si a et b sont de meme signe, la double inegalite 0 ≤ (b/(a+b)) ≤ 1 entraine que G decrit le segment [AB].](Q148409.png)
$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{G}\:\mathrm{un}\:\mathrm{point}\:\mathrm{du}\:\mathrm{plan}\:\mathrm{contenant} \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{et}\:\mathrm{B}.\:\mathrm{Alors}\:\mathrm{G}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{barycentre}\:\mathrm{des} \\ $$$$\mathrm{points}\:\mathrm{A}\:\mathrm{et}\:\mathrm{B}\:\mathrm{affecte}\:\mathrm{respectivement} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{coefficients}\:{a}\:\mathrm{et}\:{b}\:\mathrm{de}\:\mathrm{somme}\:\mathrm{non} \\ $$$$\mathrm{nulle}\:{a}+{b}\:\neq\:\mathrm{0}\:\mathrm{si},\:\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{barycentre}\::\:{a}\overset{\rightarrow} {\mathrm{GA}}+{b}\overset{\rightarrow} {\mathrm{GB}}\:=\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{0}}\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{vient}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{vecteurs}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{GA}}\:\mathrm{et}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{GB}} \\ $$$$\mathrm{sont}\:\mathrm{colineaires}\:\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{G}\:\mathrm{appartient} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{droite}\:\left(\mathrm{AB}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{outre}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{peut}\:\mathrm{s}'\mathrm{ecrire}\:: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:{a}\overset{\rightarrow} {\mathrm{GA}}+{b}\left(\overset{\rightarrow} {\mathrm{GA}}+\overset{\rightarrow} {\mathrm{AB}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{0}} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {\mathrm{AG}}\:=\:\frac{{b}}{{a}+{b}}\overset{\rightarrow} {\mathrm{A}{B}} \\ $$$$\mathrm{Si}\:{a}\:\mathrm{et}\:{b}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{de}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{signe},\:\mathrm{la}\:\mathrm{double} \\ $$$$\mathrm{inegalite}\:\mathrm{0}\:\leqslant\:\frac{{b}}{{a}+{b}}\:\leqslant\:\mathrm{1}\:\mathrm{entraine}\:\mathrm{que}\:\mathrm{G} \\ $$$$\mathrm{decrit}\:\mathrm{le}\:\mathrm{segment}\:\left[\mathrm{AB}\right]. \\ $$