Question Number 148437 by aliibrahim1 last updated on 28/Jul/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Jul/21
![I=∫_0 ^1 (dx/( (√(1+x))+(√(1−x)))) ⇒I=∫_0 ^1 (((√(1+x))−(√(1−x)))/(1+x−1+x))dx =∫_0 ^1 (((√(1+x))−(√(1−x)))/(2x))dx =(1/2)lim_(ξ→0) ∫_ξ ^1 (((√(1+x))−(√(1−x)))/x)dx we haveA_ξ = ∫_ξ ^1 (((√(1+x))−(√(1−x)))/x)dx =∫_ξ ^1 ((√(1+x))/x)dx−∫_ξ ^1 ((√(1−x))/x)dx =H_ξ −K_ξ H_ξ =_((√(1+x))=t→1+x=t^2 ) ∫_(√(1+ξ)) ^(√2) (t/(t^2 −1))(2t)dt =2∫_(√(1+ξ)) ^(√2) ((t^2 −1+1)/(t^2 −1))dt =2((√2)−(√(1+ξ)))+2∫_(√(1+ξ)) ^(√2) (dt/((t−1)(t+1))) =2((√2)−(√(1+ξ))) +∫_(√(1+ξ)) ^(√2) ((1/(t−1))−(1/(t+1)))dt =2((√2)−(√(1+ξ)))+[log∣((t−1)/(t+1))∣]_(√(1+ξ)) ^(√2) =2((√2)−(√(1+ξ)))+log((((√2)−1)/( (√2)+1)))−log((((√(1+ξ))−1)/( (√(1+ξ))+1))) K_ξ =∫_ξ ^1 ((√(1−x))/x)dx =_((√(1−x))=t→x=1−t^2 ) ∫_(√(1−ξ)) ^0 (t/(1−t^2 ))(−2t)dt =2∫_0 ^(√(1−ξ)) (t^2 /(1−t^2 ))dt =−2∫_0 ^(√(1−ξ)) ((t^2 −1+1)/(t^2 −1))dt =−2(√(1−ξ))−2∫_0 ^(√(1−ξ)) (dt/(t^2 −1))=−2(√(1−ξ))−∫_0 ^(√(1−ξ)) ((1/(t−1))−(1/(t+1)))dt =−2(√(1−ξ))−[log∣((t−1)/(t+1))∣]_0 ^(√(1−ξ)) =−2(√(1−ξ))−log(((1−(√(1−ξ)))/( (√(1−ξ))+1)))⇒ A_ξ =2((√2)−1)+log((((√2)−1)/( (√2)+1)))−log((((√(1+ξ))−1)/( (√(1+ξ))+1))) 2(√(1−ξ))+log(((1−(√(1−ξ)))/(1+(√(1−ξ))))) we have log(((1−(√(1−ξ)))/(1+(√(1−ξ)))))−log((((√(1+ξ))−1)/( (√(1+ξ))+1))) log(((1−(√(1−ξ)))/(1+(√(1−ξ))))×(((√(1+ξ))+1)/( (√(1+ξ))−1))) 1−(√(1−ξ))∼1−(1−(ξ/2))=(ξ/2) (√(1+ξ))−1∼1+(ξ/2)−1=(ξ/2) ⇒log(....)∼log((((√(1+ξ))+1)/(1+(√(1−ξ)))))→0(ξ→0) ⇒ lim_(ξ→0) A_ξ =2(√2)−2+log((√2)−1)−log((√2)+1)+2 =2(√2)+log((√2)−1)−log((√2)+1) ⇒ I=(√2)+(1/2)log((√2)−1)−(1/2)log((√2)+1)](Q148438.png)
$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\:\Rightarrow\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{2x}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{haveA}_{\xi} =\:\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\xi} −\mathrm{K}_{\xi} \\ $$$$\mathrm{H}_{\xi} =_{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\:\:\:\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)+\mathrm{2}\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)\:+\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)+\left[\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)+\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{K}_{\xi} =\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=_{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\:\int_{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} ^{\mathrm{0}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\left(−\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\left[\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\xi}+\mathrm{1}}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\xi} =\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}+\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}×\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}\sim\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\xi}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\xi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}\sim\mathrm{1}+\frac{\xi}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=\frac{\xi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{log}\left(....\right)\sim\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}\right)\rightarrow\mathrm{0}\left(\xi\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{A}_{\xi} =\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}+\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by aliibrahim1 last updated on 29/Jul/21
$${thx}\:{sir} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{la}\:\mathrm{plus}\:\mathrm{part}\:\mathrm{pense}\:\mathrm{que}\:\mathrm{cette}\:\mathrm{integrale}\:\mathrm{est}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{mais}\:\mathrm{en}\:\mathrm{realite}\: \\ $$$$\mathrm{il}\:\mathrm{n}\:\mathrm{est}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{simple}... \\ $$
Commented by puissant last updated on 29/Jul/21
$$\mathrm{prof}\:\mathrm{en}\:\mathrm{posant}\:\mathrm{x}=\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\theta\right)\: ext{\c{c}} \mathrm{ca}\:\mathrm{devient} \\ $$$$\mathrm{beaucoup}\:\mathrm{simple}..\:\mathrm{en}\:\mathrm{fait}\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{autre}\:\mathrm{methode}... \\ $$