Soit f une fonction continu sur R et non identiquement nulle, ∀ x,x′∈R, f(x−x′)+f(x+x′)=2f(x)f(x′) montrer que: f(0)=1 et f(x)=f(−x)..


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Question Number 148483 by puissant last updated on 28/Jul/21

$Soit f une fonction continu sur R$ $et non identiquement nulle,$ $\forall x, x^{'} \in R, f (x - x^{'}) + f (x + x^{'}) = 2 f (x) f (x^{'})$ $montrer que :$ $f (0) = 1 et f (x) = f (- x) . .$
	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Jul/21

	$\forall x, x^{'} \in R, f (x - x^{'}) + f (x + x^{'}) = 2 f (x) f (x^{'})$ $∙ En particulier pour x = x^{'} = 0 :$ $f (0 - 0) + f (0 + 0) = 2 f (0) f (0)$ $2 f (0) = 2 f (0) f (0)$ $f (0) [f (0) - 1] = 0$ $Et donc f (0) = 0 ou f (0) = 1 (1)$ $∙ \forall x \in R et pour x^{'} = 0 :$ $f (x - 0) + f (x + 0) = 2 f (x) f (0)$ $2 f (x) = 2 f (x) f (0) (2)$ $Si, d^{'} apres (1), f (0) = 0$ $alors (2) : alors \forall x \in R, f (x) = 0$ $Mais ca n^{'} est pas possible car on$ $cherche des fonctions f non$ $indentiquement nulles .$ $Et donc, forcement, f (0) = 1 .$ $\forall x, x^{'} \in R, f (x - x^{'}) + f (x + x^{'}) = 2 f (x) f (x^{'})$ $∙ \forall x^{'} \in R et pour x = 0 :$ $f (0 - x^{'}) + f (0 + x^{'}) = 2 f (0) f (x^{'})$ $f (- x^{'}) + f (x^{'}) = 2 \times 1 \times f (x^{'})$ $f (- x^{'}) = f (x^{'}) .$ $On a bien \forall x \in R, f (- x) = f (x)$ $Les fonctions solutions du probleme$ $sont donc des fonctions paires qui$ $prennent la valeur 1 en 0 .$
	Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Jul/21

	$Remarque :$ $Ce n^{'} est pas demande ici mais en$ $trigo, on se souvient que :$ $\cos (a) \cos (b) = \frac{1}{2} [\cos (a - b) + \cos (a + b)] .$ $La fonction cosinus, et plus$ $generalement la famille de fonctions$ $x ⇝ \cos (ω x) sont solutions du$ $probleme .$
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