Question Number 148635 by learner001 last updated on 29/Jul/21 | ||
$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right\}:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}...+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}!}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cauchy} \\ $$ $$\mathrm{sequence}. \\ $$ $$\mathrm{my}\:\mathrm{attempt}: \\ $$ $$\mathrm{let}\:\epsilon>\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mid\mathrm{a}_{\mathrm{m}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mid=\mid\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)!}+...+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} }{\mathrm{m}!}\mid \\ $$ $$\leqslant\mid\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}\mid+\mid\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)!}\mid+...+\mid\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} }{\mathrm{m}!}\mid \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)!}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}!}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\epsilon. \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\rightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{as}\:\mathrm{n}\rightarrow\infty,\:\mathrm{so}\:\mathrm{no}\:\mathrm{matter}\:\mathrm{any}\:\epsilon>\mathrm{0}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\epsilon\:\mathrm{eventually}. \\ $$ $$\mathrm{as}\:\mathrm{long}\:\mathrm{as}\:\mathrm{n}^{\ast} >\frac{\mathrm{1}}{\epsilon}\:\mid\mathrm{a}_{\mathrm{m}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mid<\epsilon\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{n}^{\ast} .\: \\ $$ | ||