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Question Number 148720 by qaz last updated on 30/Jul/21

Find the Talor series of ((ln(1−x))/((1−x)^2 )) at x=0.

$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Talor}\:\mathrm{series}\:\mathrm{of}\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}. \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/21

f(x)=((ln(1−x))/((1−x)^2 )) we have Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) if ∣x∣<1 ⇒ Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(1/((1−x)^2 )) ⇒(1/((1−x)^2 ))=Σ_(n=0) ^∞ (n+1)x^n (d/dx)ln(1−x)=((−1)/(1−x))=−Σ_(n=0) ^∞ x^n ⇒ln(1−x)=−Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n+1))+c(c=0) =−Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n) ⇒f(x)=−(Σ_(n=0) ^∞ (n+1)x^n )(Σ_(n=1) ^∞ (1/n)x^n ) =−Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n)−(Σ_(n=1) ^∞ (n+1)x^n )(Σ_(n=1) ^∞ (1/n)x^n ) =−Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n)−Σ_(n=1) ^∞ C_n x^n C_n =Σ_(i+j=n) a_i b_j =Σ_(i=1) ^(n−1) (i+1)×(1/(n−i)) ⇒ f(x)=−Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n)−Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(i=1) ^n ((i+1)/(n−i)))x^n

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\:\:\mathrm{if}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{c}\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}−\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{i}+\mathrm{j}=\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{b}_{\mathrm{j}} \:\:=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{i}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{i}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/21

f(x)=−Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n)−Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(i=1) ^(n−1) ((i+1)/(n−i)))x^n

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{i}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{i}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$

Answered by Kamel last updated on 30/Jul/21

Find the Talor series of ((ln(1−x))/((1−x)^2 )) at x=0. f(x)=((Ln(1−x))/((1−x)^2 )) (1/((1−ax)(1−bx)))=(1/(a−b))((a/(1−ax))−(b/(1−bx))) =(1/(a−b))Σ_(n=0) ^(+∞) (a^(n+1) −b^(n+1) )x^n ∴ f(x)=−Σ_(n=0) ^(+∞) ∫_0 ^1 (((n+1)(1−b)−1+b^(n+1) )/((1−b)^2 ))dbx^n =−Σ_(n=0) ^(+∞) (−n+(n+1)∫_0 ^1 ((1−b^n )/(1−b)))x^n ∴ ((Ln(1−x))/((1−x)^2 )) =Σ_(n=0) ^(+∞) (n−(n+1)H_n )x^n

$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Talor}\:\mathrm{series}\:\mathrm{of}\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}. \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{Ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{ax}\right)\left(\mathrm{1}−{bx}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{{a}−{b}}\left(\frac{{a}}{\mathrm{1}−{ax}}−\frac{{b}}{\mathrm{1}−{bx}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{a}−{b}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left({a}^{{n}+\mathrm{1}} −{b}^{{n}+\mathrm{1}} \right){x}^{{n}} \\ $$$$\therefore\:{f}\left({x}\right)=−\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−{b}\right)−\mathrm{1}+{b}^{{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}−{b}\right)^{\mathrm{2}} }{dbx}^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=−\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left(−{n}+\left({n}+\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{b}^{{n}} }{\mathrm{1}−{b}}\right){x}^{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\therefore\:\frac{{Ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left({n}−\left({n}+\mathrm{1}\right){H}_{{n}} \right){x}^{{n}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/21

another way f(x)=((ln(1−x))/((1−x)^2 )) f(x)=Σ_(n=0) ^∞ ((f^((n)) (0))/(n!))x^n =f(0) +Σ_(n=1) ^∞ ((f^((n)) (0))/(n!))x^n =Σ_(n=1) ^∞ ((f^((n)) (0))/(n!))x^n but f^((n)) (0)? f^((n)) (x)=Σ_(k=0) ^n C_n ^k (ln(1−x))^((k)) ×((1/((x−1)^2 )))^((n−k)) we have (ln(1−x))^((1)) =−(1/(1−x))=(1/(x−1)) ⇒ (ln(1−x))^((k)) =(((−1)^(k−1) (k−1)!)/((x−1)^k )) also ((1/((x−1)^2 )))^((n−k)) =(((−1)^(n−k) (n−k)!)/((x−1)^(n−k+1) )) ⇒ f^((n)) (x)=(((−1)^n n!)/((x−1)^(n+1) ))ln(1−x)+Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^(k−1) (k−1)!)/((x−1)^k ))×(((−1)^(n−k) (n−k)!)/((x−1)^(n−k+1) )) ⇒f^((n)) (0)=Σ_(k=1) ^n (((−1)^(k−1) (k−1)!)/((−1)^k ))×(((−1)^(n−k) (n−k)!)/((−1)^(n−k+1) )) =Σ_(k=1) ^n (((k−1)!(n−k)!)/1) ⇒ f(x)=Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(k=1) ^n (((k−1)!(n−k)!)/(n!)))x^n

$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{n}!}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{n}!}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{n}!}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)? \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:×\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} } \\ $$$$\mathrm{also}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\mathrm{n}!}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$

Answered by qaz last updated on 30/Jul/21

((ln(1−x))/((1−x)^2 )) =−(Σ_(k=1) ^∞ (x^k /k))(Σ_(k=1) ^∞ x^(k−1) )(Σ_(k=1) ^∞ x^(k−1) ) =−(Σ_(k=1) ^∞ (x^k /k))(Σ_(n=1) ^∞ Σ_(k=1) ^n x^(k−1) ∙x^(n+1−k−1) ) =−(Σ_(k=1) ^∞ (x^k /k))(Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) ) =−Σ_(n=1) ^∞ Σ_(k=1) ^n (x^k /k)∙(n+1−k)∙x^(n+1−k−1) =−Σ_(n=1) ^∞ Σ_(k=1) ^n (((n+1)/k)−1)∙x^n =Σ_(n=1) ^∞ [n−(n+1)H_n ]x^n

$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\right)\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right)\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=−\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\right)\left(\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \centerdot\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=−\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\right)\left(\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\centerdot\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)\centerdot\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\mathrm{1}\right)\centerdot\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left[\mathrm{n}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \right]\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$

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