Question Number 149342 by MJS_new last updated on 04/Aug/21
$$\mathrm{is}\:\mathrm{this}\:\mathrm{true}\:\mathrm{and}\:\mathrm{is}\:\mathrm{there}\:\mathrm{a}\:\mathrm{proof}? \\ $$ $$\forall{k}\in\mathbb{N}\mid{k}>\mathrm{1} \\ $$ $$\frac{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}}{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}}}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Commented bymr W last updated on 04/Aug/21
$${yes},\:{it}'{s}\:{true}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 04/Aug/21
$${proof}: \\ $$ $$\left(\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}−\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left({k}−\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} −{n}}\right) \\ $$ $$\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}−\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}}=\sqrt{\mathrm{2}}×\sqrt{{k}−\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} −{n}}} \\ $$ $$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}}=\sqrt{\mathrm{2}}×\underset{{n}={k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} −{n}}} \\ $$ $$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}}=\sqrt{\mathrm{2}}×\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}} \\ $$ $$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}=\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}+\sqrt{{n}}}}{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\sqrt{{k}−\sqrt{{n}}}}=\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$
Commented byMJS_new last updated on 04/Aug/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}! \\ $$
Commented byTawa11 last updated on 06/Nov/21
$$\mathrm{great} \\ $$