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Question Number 149534 by ArielVyny last updated on 06/Aug/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 06/Aug/21

Exercice 1. Loi geometrique P(X=k) = q^(k−1) p La fonction de repartition est : F(x) = P(X≤k) = 1−q^k P(X≥5) = 1−P(X≤4) = q^4 = (1−p)^4

$$\mathrm{Exercice}\:\mathrm{1}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Loi}\:\mathrm{geometrique}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}={k}\right)\:=\:{q}^{{k}−\mathrm{1}} {p} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartition}\:\mathrm{est}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\leqslant{k}\right)\:=\:\mathrm{1}−{q}^{{k}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\geqslant\mathrm{5}\right)\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\leqslant\mathrm{4}\right)\:=\:{q}^{\mathrm{4}} \:=\:\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{4}} \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 06/Aug/21

Exercice 2. 3 boules noires et 5 boules blanches. L′evenement A_3 est “premiere boule noire au 3eme tirage”. Pour realiser A_3 , il faut realiser 3 evenements successifs : −une boule blanche au 1er tirage avec une probabilite (5/8). −une boule blanche au 2eme tirage avec une probabilite (4/7). −une boule noire au 3eme tirage avec une probabilite (3/6) = (1/2). P(A_3 ) = (5/8)×(4/7)×(1/2) = (5/(28)) ≈ 17,9%.

$$\mathrm{Exercice}\:\mathrm{2}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}\:\mathrm{boules}\:\mathrm{noires}\:\mathrm{et}\:\mathrm{5}\:\mathrm{boules}\:\mathrm{blanches}. \\ $$$$\mathrm{L}'\mathrm{evenement}\:\mathrm{A}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{est}\:``\mathrm{premiere}\:\mathrm{boule} \\ $$$$\mathrm{noire}\:\mathrm{au}\:\mathrm{3eme}\:\mathrm{tirage}''. \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{realiser}\:\mathrm{A}_{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:\mathrm{realiser}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{evenements}\:\mathrm{successifs}\:: \\ $$$$−\mathrm{une}\:\mathrm{boule}\:\mathrm{blanche}\:\mathrm{au}\:\mathrm{1er}\:\mathrm{tirage}\:\mathrm{avec} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{probabilite}\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}. \\ $$$$−\mathrm{une}\:\mathrm{boule}\:\mathrm{blanche}\:\mathrm{au}\:\mathrm{2eme}\:\mathrm{tirage} \\ $$$$\mathrm{avec}\:\mathrm{une}\:\mathrm{probabilite}\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{7}}. \\ $$$$−\mathrm{une}\:\mathrm{boule}\:\mathrm{noire}\:\mathrm{au}\:\mathrm{3eme}\:\mathrm{tirage} \\ $$$$\mathrm{avec}\:\mathrm{une}\:\mathrm{probabilite}\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}. \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{3}} \right)\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{7}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{28}}\:\approx\:\mathrm{17},\mathrm{9\%}. \\ $$

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