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Question Number 149634 by puissant last updated on 06/Aug/21

$$\mathrm{Trouver}\mathrm{toutes}\mathrm{les}\mathrm{fonctions}\mathrm{f}:\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^{+}$$$$\mathrm{telque}\mathrm{\forall }(\mathrm{a},\mathrm{b})\in \mathbb{N},$$$$\mathrm{f}({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2)=\mathrm{f}\left({\mathrm{a}}^2\right)+\mathrm{f}\left({\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{et}\mathrm{f}\left(1\right)=1$$

Answered by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

$$f(a^2+b^2)=f\left(a^2\right)+f\left(b^2\right),f\left(1\right)=1$$$$f(a^2+a^2)=f\left(2a^2\right)=f\left(a^2\right)+f\left(a^2\right)=2f\left(a^2\right)$$$$\mathrm{Posons}a=\frac{1}{\sqrt{2}},\mathrm{alors};f\left(2{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2\right)=2f\left({\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2\right)$$$$\Rightarrow f\left(1\right)=2f\left(\frac{1}{2}\right)=1\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$$$$\mathrm{De}\mathrm{fa}ext\text{c}c\mathrm{con}\mathrm{similaire}\mathrm{posons}a=\frac{1}{2}\mathrm{alors};$$$$f\left(\frac{1}{2}\right)=2f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$$$$\mathrm{Nous}\mathrm{pouvons}\mathrm{conclure}\mathrm{que}f\left(x\right)=\mid x\mid$$

Commented by puissant last updated on 06/Aug/21

$$\mathrm{merci}\mathrm{broo}$$

Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

Je t'en prie��

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 06/Aug/21

$$\mathrm{si}\mathrm{la}\mathrm{question}\mathrm{est}\mathrm{de}\mathrm{trouver}\mathrm{toutes}\mathrm{les}$$$$\mathrm{fonctions},\mathrm{la}\mathrm{fonction}\mathrm{valeur}\mathrm{absolue}$$$${\mathrm{n}}^{\prime }\mathrm{est}\mathrm{pas}\mathrm{la}\mathrm{seule}\mathrm{fonction}.$$$$$$$$\mathrm{Par}\mathrm{exemple},\mathrm{le}\mathrm{fonction}\mathrm{partie}\mathrm{entiere}$$$$\mathrm{repond}\mathrm{au}\mathrm{probleme}\mathrm{aussi}:$$$$\lfloor {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\rfloor =\lfloor {\mathrm{a}}^2\rfloor +\lfloor {\mathrm{b}}^2\rfloor \mathrm{et}\lfloor 1\rfloor =1$$$$$$$$\mathrm{Bon},\mathrm{dans}\mathbb{N},\mathrm{valeur}\mathrm{absolue}\mathrm{et}$$$$\mathrm{partie}\mathrm{entiere}\mathrm{se}\mathrm{confondent}.$$

Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

$$\mathrm{Vous}\mathrm{avez}\mathrm{raison},\mathrm{monsieur}$$

Commented by puissant last updated on 07/Aug/21

$$\mathrm{oui}..\mathrm{parfaitement}\mathrm{raison}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{e}me}..$$

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