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Question Number 149634 by puissant last updated on 06/Aug/21

Trouver toutes les fonctions f:N→R^+ telque ∀(a,b)∈N, f(a^2 +b^2 )=f(a^2 )+f(b^2 ) et f(1)=1

$$\mathrm{Trouver}\:\mathrm{toutes}\:\mathrm{les}\:\mathrm{fonctions}\:\mathrm{f}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}^{+} \\ $$$$\mathrm{telque}\:\forall\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{N}, \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{et}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

f(a^2 +b^2 )=f(a^2 )+f(b^2 ), f(1)=1 f(a^2 +a^2 )=f(2a^2 )=f(a^2 )+f(a^2 )=2f(a^2 ) Posons a=(1/( (√2))), alors; f(2((1/( (√2))))^2 )=2f(((1/( (√2))))^2 ) ⇒f(1)=2f((1/2))=1⇒f((1/2))=(1/2) De fac_ξ on similaire posons a=(1/2) alors; f((1/2))=2f((1/4))=(1/2)⇒f((1/4))=(1/4) Nous pouvons conclure que f(x)=∣x∣

$${f}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)={f}\left({a}^{\mathrm{2}} \right)+{f}\left({b}^{\mathrm{2}} \right),\:{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${f}\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} \right)={f}\left(\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \right)={f}\left({a}^{\mathrm{2}} \right)+{f}\left({a}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2}{f}\left({a}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{Posons}\:{a}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}},\:\mathrm{alors};\:{f}\left(\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2}{f}\left(\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{De}\:\mathrm{fa} ext{\c{c}} \mathrm{con}\:\mathrm{similaire}\:\mathrm{posons}\:{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{alors}; \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Nous}\:\mathrm{pouvons}\:\mathrm{conclure}\:\mathrm{que}\:{f}\left({x}\right)=\mid{x}\mid \\ $$

Commented by puissant last updated on 06/Aug/21

merci broo

$$\mathrm{merci}\:\mathrm{broo} \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

Je t'en prie��

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 06/Aug/21

si la question est de trouver toutes les fonctions, la fonction valeur absolue n′est pas la seule fonction. Par exemple, le fonction partie entiere repond au probleme aussi : ⌊a^2 +b^2 ⌋ = ⌊a^2 ⌋+⌊b^2 ⌋ et ⌊1⌋ = 1 Bon, dans N, valeur absolue et partie entiere se confondent.

$$\mathrm{si}\:\mathrm{la}\:\mathrm{question}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{trouver}\:\mathrm{toutes}\:\mathrm{les}\: \\ $$$$\mathrm{fonctions},\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{absolue} \\ $$$$\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{la}\:\mathrm{seule}\:\mathrm{fonction}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Par}\:\mathrm{exemple},\:\mathrm{le}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{partie}\:\mathrm{entiere} \\ $$$$\mathrm{repond}\:\mathrm{au}\:\mathrm{probleme}\:\mathrm{aussi}\:: \\ $$$$\lfloor\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \rfloor\:=\:\lfloor\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \rfloor+\lfloor\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \rfloor\:\mathrm{et}\:\lfloor\mathrm{1}\rfloor\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Bon},\:\mathrm{dans}\:\mathbb{N},\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{absolue}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{partie}\:\mathrm{entiere}\:\mathrm{se}\:\mathrm{confondent}. \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

Vous avez raison, monsieur

$$\mathrm{Vous}\:\mathrm{avez}\:\mathrm{raison},\:\mathrm{monsieur} \\ $$

Commented by puissant last updated on 07/Aug/21

oui.. parfaitement raison me^� me..

$$\mathrm{oui}..\:\mathrm{parfaitement}\:\mathrm{raison}\:\mathrm{m}\hat {\mathrm{e}me}.. \\ $$

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