Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Algebra Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Algebra      Next in Algebra      

Question Number 149917 by mathdanisur last updated on 08/Aug/21

∫_( 0) ^( 2𝛑) (dt/(4(√2) sint + 6)) = ?

$$\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{2}\boldsymbol{\pi}} {\int}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\boldsymbol{\mathrm{t}}\:+\:\mathrm{6}}\:=\:? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Aug/21

Ξ¨=∫_0 ^(2Ο€) (dt/(4(√2)sint +6)) β‡’Ξ¨=∫_0 ^(2Ο€) (dt/(4(√2)(((e^(it) βˆ’e^(βˆ’it) )/(2i)))+6)) =∫_0 ^(2Ο€) ((2idt)/(4(√2)(e^(it) βˆ’e^(βˆ’it) )+12i)) =_(e^(it) =z) ∫_(∣z∣=1) ((2i)/(4(√2)(zβˆ’z^(βˆ’1) )+12i))(dz/(iz)) =∫_(∣z∣=1) (1/(z(2(√2)zβˆ’2(√2)z^(βˆ’1) +6i)))dz =∫_(∣z∣=1) (dz/(2(√2)z^2 +6izβˆ’2(√2))) let Ξ›(z)=(1/(2(√2)z^2 +6iz βˆ’2(√2))) poles of Ξ›? Ξ”^β€² =(3i)^2 +8 =βˆ’9+8=βˆ’1 β‡’z_1 =((βˆ’3i+i)/(2(√2)))=((βˆ’2i)/(2(√2)))=((βˆ’i)/( (√2))) z_2 =((βˆ’3iβˆ’i)/(2(√2)))=((βˆ’4i)/(2(√2)))=((βˆ’2i)/( (√2)))=βˆ’(√2)i ona ∣z_1 ∣=(1/2)<1 and ∣z_2 ∣=(√2)>1 (out of circle) β‡’ β‡’βˆ«_(∣z∣=1) Ξ›(z)dz=2iΟ€ Res(Ξ›,z_1 ) we have Ξ›(z)=(1/(2(√2)(zβˆ’z_1 )(zβˆ’z_2 ))) β‡’Res(Ξ›,z_1 )=(1/(2(√2)(z_1 βˆ’z_2 ))) =(1/(2(√2)(βˆ’(i/( (√2)))+(√2)i))) =(1/(2i(√2)((√2)βˆ’(1/( (√2))))))=((√2)/(2i(√2)))=(1/(2i)) β‡’ ∫_(∣z∣=1) Ξ›(z)dz =2iπ×(1/(2i))=Ο€ β‡’Ξ¨=Ο€

$$\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sint}\:+\mathrm{6}}\:\:\Rightarrow\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{it}} βˆ’\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{it}} }{\mathrm{2i}}\right)+\mathrm{6}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{2idt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{it}} βˆ’\mathrm{e}^{βˆ’\mathrm{it}} \right)+\mathrm{12i}}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{it}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}^{βˆ’\mathrm{1}} \right)+\mathrm{12i}}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}βˆ’\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}^{βˆ’\mathrm{1}} +\mathrm{6i}\right)}\mathrm{dz} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6iz}βˆ’\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\mathrm{let}\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6iz}\:βˆ’\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\Lambda? \\ $$$$\Delta^{'} \:=\left(\mathrm{3i}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{8}\:=βˆ’\mathrm{9}+\mathrm{8}=βˆ’\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{βˆ’\mathrm{3i}+\mathrm{i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{βˆ’\mathrm{2i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{βˆ’\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{βˆ’\mathrm{3i}βˆ’\mathrm{i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{βˆ’\mathrm{4i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{βˆ’\mathrm{2i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=βˆ’\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\:\:\mathrm{ona}\: \\ $$$$\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid=\sqrt{\mathrm{2}}>\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{out}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} βˆ’\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(βˆ’\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\piΓ—\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}=\pi\:\Rightarrow\Psi=\pi \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 08/Aug/21

Ser, Thank You

$$\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{You} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com