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Question Number 150044 by bramlexs22 last updated on 09/Aug/21

$$\mathrm{Given}\mathrm{f}\left(\frac{2\mathrm{x}-3}{2\mathrm{x}+1}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{2\mathrm{x}+3}{1-2\mathrm{x}}\right)=4\mathrm{x}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=?$$

Answered by liberty last updated on 09/Aug/21

$$\mathrm{f}\left(\frac{2\mathrm{x}-3}{2\mathrm{x}+1}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{2\mathrm{x}+3}{1-2\mathrm{x}}\right)=4\mathrm{x}\dots \left(\mathrm{i}\right)$$$$\mathrm{let}\frac{2\mathrm{x}-3}{2\mathrm{x}+1}=\mathrm{y};$$$$\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{y}-3}{2\mathrm{y}-2}$$$$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{y}-3}{\mathrm{y}+1}\right)=\frac{-2\mathrm{y}+6}{\mathrm{y}-1}\dots \left(\mathrm{ii}\right)$$$$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}\right)=\frac{-2\mathrm{x}+6}{\mathrm{x}-1}$$$$\mathrm{let}\frac{\mathrm{y}-3}{\mathrm{y}+1}=\mathrm{u};\mathrm{y}=\frac{-\mathrm{u}-3}{\mathrm{u}-1}$$$$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\frac{-\mathrm{u}-3}{\mathrm{u}-1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)=-\frac{4\mathrm{u}}{\mathrm{u}+1}\dots \left(\mathrm{iii}\right)$$$$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\frac{-\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{-4\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}$$$$\mathrm{let}\frac{-\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{t};\mathrm{x}=\frac{\mathrm{t}-3}{\mathrm{t}+1}$$$$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}\right)=\frac{-2\mathrm{x}+6}{\mathrm{x}-1}\dots \left(\mathrm{iv}\right)$$$$$$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Aug/21

$$\mathrm{f}\left(\frac{2\mathrm{x}-3}{2\mathrm{x}+1}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{2\mathrm{x}+3}{1-2\mathrm{x}}\right)=4\mathrm{x}...\left(i\right);\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=?$$$$\mathrm{x}\to -x$$$$\mathrm{f}\left(\frac{-2\mathrm{x}-3}{-2\mathrm{x}+1}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{-2\mathrm{x}+3}{1+2\mathrm{x}}\right)=-4\mathrm{x}$$$$\mathrm{f}(-\frac{2\mathrm{x}+3}{1-2\mathrm{x}})+\mathrm{f}(-\frac{2\mathrm{x}-3}{1+2\mathrm{x}})=-4\mathrm{x}....\left(ii\right)$$$$Let\frac{2\mathrm{x}-3}{2\mathrm{x}+1}=\mathrm{u},\frac{2\mathrm{x}+3}{1-2\mathrm{x}}=\mathrm{v}$$$$\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)=4\mathrm{x}\\ \left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow \mathrm{f}(-\mathrm{u})+\mathrm{f}(-\mathrm{v})=-4\mathrm{x}\end{array}$$$$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{u})+\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)+(-\mathrm{v})=0$$$$\frac{2\mathrm{x}-3}{2\mathrm{x}+1}=\mathrm{u}\Rightarrow 2\mathrm{x}-3=2\mathrm{ux}+\mathrm{u}$$$$2\mathrm{ux}-2\mathrm{x}+\mathrm{u}+3=0$$$$\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{u}+3}{2(\mathrm{u}-1)}$$$$\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{x}+3}{1-2\mathrm{x}}=\frac{2(-\frac{\mathrm{u}+3}{2(\mathrm{u}-1)})+3}{1-2(-\frac{\mathrm{u}+3}{2(\mathrm{u}-1)})}=\frac{-\mathrm{u}-3+3\mathrm{u}-3}{\mathrm{u}-1+\mathrm{u}+3}$$$$\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{u}-6}{2\mathrm{u}+2}=\frac{\mathrm{u}-3}{\mathrm{u}+1}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{u})+\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{v})=0$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{u})+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{u}-3}{\mathrm{u}+1}\right)+\mathrm{f}(-\frac{\mathrm{u}-3}{\mathrm{u}+1})=0$$$$....\underset{.....}{\stackrel{.....}{}}....$$

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