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Question Number 151241 by bagjagugum123 last updated on 19/Aug/21

Answered by hknkrc46 last updated on 19/Aug/21

(2) ∣2x − 3∣ < ∣x − 1∣ ⇒ (2x − 3)^2 < (x − 1)^2 ⇒ 4x^2 − 12x + 9 < x^2 − 2x + 1 ⇒ 3x^2 − 10x + 8 < 0 ⇒ (3x − 4_(= 0 ⇒ x = (4/3)) )(x − 2_(= 0 ⇒ x = 2) ) < 0 ⇒ x ∈ ((4/3) , 2) (3) ∣((2x − 1)/(1 − 3x))∣ > 2 ⇒ determinant ((((i) ((2x − 1)/(1 − 3x)) > 2)),(((ii) ((2x − 1)/(1 − 3x)) < −2))) (i) ((2x − 1)/(1 − 3x)) > 2 ⇒ ((2x − 1)/(1 − 3x)) − 2 > 0 ⇒ ((8x − 3)/(1 − 3x)) > 0 → determinant (((8x − 3 = 0 ⇒ x = (3/8))),((1 − 3x = 0 ⇒ x = (1/3)))) ⇒ x ∈ ((1/3) , (3/8)) (ii) ((2x − 1)/(1 − 3x)) < −2 ⇒ ((2x − 1)/(1 − 3x)) + 2 < 0 ⇒ ((−4x + 1)/(−3x + 1)) < 0 → determinant (((−4x + 1 = 0 ⇒ x = (1/4))),((−3x + 1 = 0 ⇒ x = (1/3)))) ⇒ x ∈ ((1/4) , (1/3)) (4) ∣((2x − 1)/(1 − 3x))∣ < 1 ⇒ −1 < ((2x − 1)/(1 − 3x)) < 1 ⇒ determinant ((((i) −1 < ((2x − 1)/(1 − 3x)))),(((ii) ((2x − 1)/(1 − 3x)) < 1))) (i) −1 < ((2x − 1)/(1 − 3x)) ⇒ ((2x − 1)/(1 − 3x)) + 1 > 0 ⇒ ((−x)/(1 − 3x)) > 0 → determinant (((−x = 0 ⇒ x = 0)),((1 − 3x = 0 ⇒ x = (1/3)))) ⇒ x ∈ (−∞ , 0) ∪ ((1/3) , ∞) (ii) ((2x − 1)/(1 − 3x)) < 1 ⇒ ((2x − 1)/(1 − 3x)) − 1 < 0 ⇒ ((5x − 2)/(1 − 3x)) < 0 → determinant (((5x − 2 = 0 ⇒ x = (2/5))),((1 − 3x = 0 ⇒ x = (1/3)))) ⇒ x ∈ (−∞ , (1/3)) ∪ ((2/5) , ∞) (5) ∣x + 3∣ < 2∣x − 2∣ ⇒ (x + 3)^2 < 4(x − 2)^2 ⇒ x^2 + 6x + 9 < 16x^2 −16x + 16 ⇒ 15x^2 − 22x + 7 > 0 ⇒ (15x − 7_(= 0 ⇒ x = (7/(15))) )(x − 1_(= 0 ⇒ x = 1) ) > 0 ⇒ x ∈ (−∞ , (7/(15))) ∪ (1 , ∞)

$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mid\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{3}\mid\:<\:\mid\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}\mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:<\:\left(\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{4}\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{12}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{9}\:<\:\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{10}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{8}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\left(\underset{=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}} {\underbrace{\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{4}}}\right)\left(\underset{=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{2}} {\underbrace{\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{2}}}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:\in\:\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:,\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mid\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\mid\:>\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\begin{matrix}{\left(\boldsymbol{{i}}\right)\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:>\:\mathrm{2}}\\{\left(\boldsymbol{{ii}}\right)\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:<\:−\mathrm{2}}\end{matrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{i}}\right)\:\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:>\:\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:−\:\mathrm{2}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{8}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{3}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:>\:\mathrm{0}\:\rightarrow\:\begin{matrix}{\mathrm{8}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{3}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}}\\{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\end{matrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:\in\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{ii}}\right)\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:<\:−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:+\:\mathrm{2}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\frac{−\mathrm{4}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{1}}{−\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{1}}\:<\:\mathrm{0}\:\rightarrow\:\begin{matrix}{−\mathrm{4}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\\{−\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\end{matrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:\in\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:,\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:\mid\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\mid\:<\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:−\mathrm{1}\:<\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:<\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\begin{matrix}{\left(\boldsymbol{{i}}\right)\:−\mathrm{1}\:<\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}}\\{\left(\boldsymbol{{ii}}\right)\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:<\:\mathrm{1}}\end{matrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{i}}\right)\:−\mathrm{1}\:<\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:+\:\mathrm{1}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\frac{−\boldsymbol{{x}}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:>\:\mathrm{0}\:\rightarrow\:\begin{matrix}{−\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\end{matrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:\in\:\left(−\infty\:,\:\mathrm{0}\right)\:\cup\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:\infty\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{ii}}\right)\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:<\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:−\:\mathrm{1}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{5}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{2}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}}\:<\:\mathrm{0}\:\rightarrow\:\begin{matrix}{\mathrm{5}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{2}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}}\\{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\end{matrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:\in\:\left(−\infty\:,\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\:\cup\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\:,\:\infty\right) \\ $$$$\left(\mathrm{5}\right)\:\mid\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{3}\mid\:<\:\mathrm{2}\mid\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{2}\mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\left(\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:<\:\mathrm{4}\left(\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{9}\:<\:\mathrm{16}\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{16}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{16} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{15}\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{22}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{7}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\left(\underset{=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{15}}} {\underbrace{\mathrm{15}\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{7}}}\right)\left(\underset{=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:=\:\mathrm{1}} {\underbrace{\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{1}}}\right)\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\boldsymbol{{x}}\:\in\:\left(−\infty\:,\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{15}}\right)\:\cup\:\left(\mathrm{1}\:,\:\infty\right) \\ $$

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