Question Number 151630 by mathlove last updated on 22/Aug/21
Answered by qaz last updated on 22/Aug/21
![Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) =∫_0 ^1 (1/(1−x))Σ_(n=1) ^∞ ((1−x^n )/n^2 )dx =∫_0 ^1 (((π^2 /6)−Li_2 (x))/(1−x))dx =∫_0 ^1 (((π^2 /6)−Li_2 (1−x))/x)dx =[(π^2 /6)−Li_2 (1−x)]lnx∣_0 ^1 −∫_0 ^1 ((ln^2 x)/(1−x))dx =−Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^1 x^n ln^2 xdx =2Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)^3 )) =2ζ(3)](Q151732.png)
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{lnx}\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 22/Aug/21
![• Σ_(k=0) ^(n−1) x^k = ((1−x^n )/(1−x)) ⇒ ∫_0 ^1 Σ_(k=0) ^(n−1) x^k dx = ∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x)) dx [Σ_(k=0) ^(n−1) (x^(k+1) /(k+1))]_0 ^1 = ∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x)) dx Σ_(k=0) ^(n−1) (1/(k+1)) = ∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x)) dx Σ_(k=1) ^n (1/k) = H_n = ∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x)) dx Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x)) dx = Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) (1) • Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = Σ_(m=1) ^∞ Σ_(n=1) ^m (1/(m^2 n)) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = Σ_(n=1) ^∞ Σ_(m=n) ^∞ (1/(m^2 n)) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = Σ_(n=1) ^∞ ((1/n^3 )+Σ_(m=n+1) ^∞ (1/(m^2 n))) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = Σ_(n=1) ^∞ (1/n^3 )+Σ_(n=1) ^∞ Σ_(m=n+1) ^∞ (1/(m^2 n)) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+Σ_(n=1) ^∞ Σ_(m=1) ^∞ (1/((m+n)^2 n)) By symmetry : Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ Σ_(m=1) ^∞ ((1/((m+n)^2 n))+(1/((m+n)^2 m))) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ Σ_(m=1) ^∞ ((m+n)/(mn(m+n)^2 )) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ Σ_(m=1) ^∞ (1/(mn(m+n))) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ (1/n)Σ_(m=1) ^∞ (1/(m(m+n))) Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )Σ_(m=1) ^∞ ((1/m)−(1/(m+n))) But the telescopic sum Σ_(m=1) ^∞ ((1/m)−(1/(m+n))) is H_n . Σ_(m=1) ^∞ (H_m /m^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) ⇒Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) = ζ(3)+(1/2)Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) = 2ζ(3) (2) • (1) and (2) give : Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )∫_0 ^1 ((1−x^n )/(1−x)) dx = Σ_(n=1) ^∞ (H_n /n^2 ) = 2ζ(3)](Q151645.png)
$$\bullet\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}^{{k}} \:=\:\frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\Rightarrow\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}^{{k}} \:{dx}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}}\:{dx} \\ $$$$\:\left[\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}+\mathrm{1}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}}\:{dx} \\ $$$$\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}}\:{dx} \\ $$$$\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:=\:{H}_{{n}} \:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}}\:{dx} \\ $$$$\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}}\:{dx}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{m}^{\mathrm{2}} {n}} \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{m}={n}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{m}^{\mathrm{2}} {n}} \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }+\underset{{m}={n}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{m}^{\mathrm{2}} {n}}\right) \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{m}={n}+\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{m}^{\mathrm{2}} {n}} \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} {n}} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{symmetry}\:: \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} {m}}\right) \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{m}+{n}}{{mn}\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{mn}\left({m}+{n}\right)} \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{m}\left({m}+{n}\right)} \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}}−\frac{\mathrm{1}}{{m}+{n}}\right) \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{telescopic}\:\mathrm{sum}\:\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}}−\frac{\mathrm{1}}{{m}+{n}}\right)\:\mathrm{is}\:{H}_{{n}} . \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{m}} }{{m}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{3}\right)\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\bullet\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{give}\:: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}^{{n}} }{\mathrm{1}−{x}}\:{dx}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 22/Aug/21
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 22/Aug/21
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{great}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 22/Aug/21
$$\mathrm{Help}\:\mathrm{me}\:\mathrm{check}\:\:\mathrm{Q151641} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 22/Aug/21
$$\mathrm{And}\:\:\:\mathrm{Q151636} \\ $$