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Question Number 152299 by saly last updated on 27/Aug/21

Commented by saly last updated on 27/Aug/21

Do you help me ?

$$\:\:\: \\ $$$$\:{Do}\:{you}\:\:{help}\:{me}\:? \\ $$$$ \\ $$

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 27/Aug/21

Et si vous faisiez en sorte que ce soit lisible ?

$$\mathrm{Et}\:\mathrm{si}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{faisiez}\:\mathrm{en}\:\mathrm{sorte}\:\mathrm{que}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{soit} \\ $$$$\mathrm{lisible}\:? \\ $$

Commented by saly last updated on 27/Aug/21

Je suis de^� sole^� , c′est peut-e^� tre un peu technique.

$$\:{Je}\:{suis}\:{d}\acute {{e}sol}\acute {{e}},\:{c}'{est}\:\:{peut}-\hat {{e}tre}\:{un}\:{peu}\:{technique}. \\ $$

Commented by ajfour last updated on 28/Aug/21

Can we have an English translation of this question?

$${Can}\:{we}\:{have}\:{an}\:{English} \\ $$$${translation}\:{of}\:{this}\:{question}? \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Aug/21

1. Soit M un point du liquide 1 de cote z et p_1 (z) la pression en ce point. L′e^� quation de l′hydrostatique implique : (dp_1 /dz) = −ρ_1 g ⇒ p_1 (z) = −ρ_1 gz+K_1 ou^� K_1 est une constante d′inte^� gration. En z = d, on a l′interface du liquide 1 avec l′air de l′atmosphe^� re donc : p_1 (d) = p_a Comme conse^� quence on a : K_1 = p_a +ρ_1 gd. D′ou^� : p_1 (z) = p_a +ρ_1 g(d−z) Dans le liquide 2, en un point M de cote z, la pression est p_2 (z) avec : p_2 (z) = −ρ_2 gz+K_2 A^� l′interface entre les deux liquides les pressions sont e^� gales, ce qui implique : p_1 (0) = p_a +ρ_1 gd = p_2 (0) = K_2 ⇒ K_2 = p_a +ρ_1 gd En conclusion : p_2 (z) = p_a +ρ_1 gd−ρ_2 gz 2. Les efforts exerce^� s sur le solide sont les forces de pesanteur et les forces de pression exerce^� es par les liquides sur la suface du cylindre. 3. Sur la surface late^� rale du cylindre, les forces de pression en deux points diame^� tralement oppose^� s dans une me^� me section horizontale sont oppose^� es. La re^� sutante des efforts de pression exerce^� es sur cette surface late^� rale est donc nulle. Sur la surface supe^� rieure la pression est : p_1 (h) = p_a +ρ_1 g(d−h) Et sur la surface infe^� rieure elle est : p_2 (−H + h) = p_a +ρ_1 gd−ρ_2 (−H+h) Notons e_z ^→ le vecteur unitaire de l′axe (O,z). La re^� sultante des efforts de pression sur les deux surfaces horizontales du cylindre est : F^→ = (−p_1 (h)S+p_2 (−H+h)S)e_z ^→ Soit apre^� s calculs : F^→ = (ρ_1 h+ρ_2 (H−h))gSe_z ^→ Le second membre repre^� sente le poids du fluide de^� place^� au signe pre^� s (ρ_1 hS est la masse du liquide 1 de^� place^� et ρ_2 (H − h)S est la masse du liquide 2 de^� place^� ). 4. Le solide est en e^� quilibre donc la la re^� sultante des forces de pesanteur et des forces de pression exerce^� es par les liquides sur la surface du cylindre estnulle. Il vient : −ρ_s HSge_z ^→ +(ρ_1 h+ρ_2 (H−h))gSe_z ^→ = 0^→ ρ_s H = ρ_1 h+ρ_2 (H−h) 5. Pour un corps en e^� quilibre dans un fluide au repos et soumis par ailleurs aux seules forces de pesanteur le the^� ore^� me d′Achime^� de dit : la masse du fluide de^� place^� est e^� gale a^� la masse du corps immerge^� . Il vient : ρ_s HS = ρ_1 hS+ρ_2 (H−h)S Apre^� s simplification par S, on retrouve bien la relation pre^� ce^� dente. Supposons ρ_1 < ρ_2 et posons x = (h/H). On a : ρ_s = ρ_1 x+ρ_2 (1−x), d′ou^� : x = (h/H) = ((ρ_2 −ρ_s )/(ρ_2 −ρ_1 )) Comme x est compris entre 0 et 1 on voit que ρ_s est tel que : ρ_1 < ρ_s < ρ_2

$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Soit}\:\mathrm{M}\:\mathrm{un}\:\mathrm{point}\:\mathrm{du}\:\mathrm{liquide}\:\mathrm{1}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cote}\:{z} \\ $$$$\mathrm{et}\:{p}_{\mathrm{1}} \left({z}\right)\:\mathrm{la}\:\mathrm{pression}\:\mathrm{en}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{point}.\: \\ $$$$\mathrm{L}'\acute {\mathrm{e}quation}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}'\mathrm{hydrostatique} \\ $$$$\mathrm{implique}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{dp}_{\mathrm{1}} }{{dz}}\:=\:−\rho_{\mathrm{1}} {g}\:\Rightarrow\:{p}_{\mathrm{1}} \left({z}\right)\:=\:−\rho_{\mathrm{1}} {gz}+{K}_{\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{o}\grave {\mathrm{u}}\:{K}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{constante}\:\mathrm{d}'\mathrm{int}\acute {\mathrm{e}gration}. \\ $$$$\mathrm{En}\:{z}\:=\:{d},\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{l}'\mathrm{interface}\:\mathrm{du}\:\mathrm{liquide}\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{avec}\:\mathrm{l}'\mathrm{air}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}'\mathrm{atmosph}\grave {\mathrm{e}re}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} \left({d}\right)\:=\:{p}_{{a}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Comme}\:\mathrm{cons}\acute {\mathrm{e}quence}\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$$ \\ $$$${K}_{\mathrm{1}} \:=\:\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {gd}.\:\mathrm{D}'\mathrm{o}\grave {\mathrm{u}}\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} \left({z}\right)\:=\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {g}\left({d}−{z}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Dans}\:\mathrm{le}\:\mathrm{liquide}\:\mathrm{2},\:\mathrm{en}\:\mathrm{un}\:\mathrm{point}\:\mathrm{M}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cote} \\ $$$${z},\:\mathrm{la}\:\mathrm{pression}\:\mathrm{est}\:{p}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)\:\mathrm{avec}\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)\:=\:−\rho_{\mathrm{2}} {gz}+{K}_{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\grave {\mathrm{A}}\:\mathrm{l}'\mathrm{interface}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{liquides} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{pressions}\:\mathrm{sont}\:\acute {\mathrm{e}gales},\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{implique}\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)\:=\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {gd}\:=\:{p}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)\:=\:{K}_{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:{K}_{\mathrm{2}} \:=\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {gd} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{conclusion}\:\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)\:=\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {gd}−\rho_{\mathrm{2}} {gz} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{Les}\:\mathrm{efforts}\:\mathrm{exerc}\acute {\mathrm{e}s}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{le}\:\mathrm{solide}\:\mathrm{sont} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{forces}\:\mathrm{de}\:\mathrm{pesanteur}\:\mathrm{et}\:\mathrm{les}\:\mathrm{forces}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{pression}\:\mathrm{exerc}\acute {\mathrm{e}es}\:\mathrm{par}\:\mathrm{les}\:\mathrm{liquides}\:\mathrm{sur} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{suface}\:\mathrm{du}\:\mathrm{cylindre}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{Sur}\:\mathrm{la}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{lat}\acute {\mathrm{e}rale}\:\mathrm{du}\:\mathrm{cylindre}, \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{forces}\:\mathrm{de}\:\mathrm{pression}\:\mathrm{en}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{points} \\ $$$$\mathrm{diam}\acute {\mathrm{e}tralement}\:\mathrm{oppos}\acute {\mathrm{e}s}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{m}\hat {\mathrm{e}me}\:\mathrm{section}\:\mathrm{horizontale}\:\mathrm{sont} \\ $$$$\mathrm{oppos}\acute {\mathrm{e}es}.\:\mathrm{La}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}sutante}\:\mathrm{des}\:\mathrm{efforts}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{pression}\:\mathrm{exerc}\acute {\mathrm{e}es}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{cette}\:\mathrm{surface} \\ $$$$\mathrm{lat}\acute {\mathrm{e}rale}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{nulle}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Sur}\:\mathrm{la}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{sup}\acute {\mathrm{e}rieure}\:\mathrm{la}\:\mathrm{pression} \\ $$$$\mathrm{est}\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} \left({h}\right)\:=\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {g}\left({d}−{h}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{la}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{inf}\acute {\mathrm{e}rieure}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{est}\:: \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} \left(−{H}\:+\:{h}\right)\:=\:{p}_{{a}} +\rho_{\mathrm{1}} {gd}−\rho_{\mathrm{2}} \:\left(−{H}+{h}\right)\: \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Notons}\:\overset{\rightarrow} {{e}}_{{z}} \:\mathrm{le}\:\mathrm{vecteur}\:\mathrm{unitaire}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}'\mathrm{axe} \\ $$$$\left(\mathrm{O},{z}\right).\:\mathrm{La}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}sultante}\:\mathrm{des}\:\mathrm{efforts}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{pression}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{surfaces} \\ $$$$\mathrm{horizontales}\:\mathrm{du}\:\mathrm{cylindre}\:\mathrm{est}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{F}}\:=\:\left(−{p}_{\mathrm{1}} \left({h}\right){S}+{p}_{\mathrm{2}} \left(−{H}+{h}\right){S}\right)\overset{\rightarrow} {{e}}_{{z}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{apr}\grave {\mathrm{e}s}\:\mathrm{calculs}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{F}}\:=\:\left(\rho_{\mathrm{1}} {h}+\rho_{\mathrm{2}} \left({H}−{h}\right)\right){gS}\overset{\rightarrow} {{e}}_{{z}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{second}\:\mathrm{membre}\:\mathrm{repr}\acute {\mathrm{e}sente}\:\mathrm{le}\:\mathrm{poids}\: \\ $$$$\mathrm{du}\:\mathrm{fluide}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}plac}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{au}\:\mathrm{signe}\:\mathrm{pr}\grave {\mathrm{e}s}\:\left(\rho_{\mathrm{1}} {hS}\right. \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{la}\:\mathrm{masse}\:\mathrm{du}\:\mathrm{liquide}\:\mathrm{1}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}plac}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{et} \\ $$$$\rho_{\mathrm{2}} \left({H}\:−\:{h}\right){S}\:\mathrm{est}\:\mathrm{la}\:\mathrm{masse}\:\mathrm{du}\:\mathrm{liquide}\:\mathrm{2} \\ $$$$\left.\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}plac}\acute {\mathrm{e}}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{4}.\:\mathrm{Le}\:\mathrm{solide}\:\mathrm{est}\:\mathrm{en}\:\acute {\mathrm{e}quilibre}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}sultante}\:\mathrm{des}\:\mathrm{forces}\:\mathrm{de}\:\mathrm{pesanteur} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{des}\:\mathrm{forces}\:\mathrm{de}\:\mathrm{pression}\:\mathrm{exerc}\acute {\mathrm{e}es}\:\mathrm{par} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{liquides}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{la}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{du}\:\mathrm{cylindre} \\ $$$$\mathrm{estnulle}.\:\mathrm{Il}\:\mathrm{vient}\:: \\ $$$$ \\ $$$$−\rho_{{s}} {HSg}\overset{\rightarrow} {{e}}_{{z}} +\left(\rho_{\mathrm{1}} {h}+\rho_{\mathrm{2}} \left({H}−{h}\right)\right){gS}\overset{\rightarrow} {{e}}_{{z}} \:=\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{0}} \\ $$$$ \\ $$$$\rho_{{s}} {H}\:=\:\rho_{\mathrm{1}} {h}+\rho_{\mathrm{2}} \left({H}−{h}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{5}.\:\mathrm{Pour}\:\mathrm{un}\:\mathrm{corps}\:\mathrm{en}\:\acute {\mathrm{e}quilibre}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{un} \\ $$$$\mathrm{fluide}\:\mathrm{au}\:\mathrm{repos}\:\mathrm{et}\:\mathrm{soumis}\:\mathrm{par}\:\mathrm{ailleurs} \\ $$$$\mathrm{aux}\:\mathrm{seules}\:\mathrm{forces}\:\mathrm{de}\:\mathrm{pesanteur}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{th}\acute {\mathrm{e}or}\grave {\mathrm{e}me}\:\mathrm{d}'\mathrm{Achim}\grave {\mathrm{e}de}\:\mathrm{dit}\::\:\mathrm{la}\:\mathrm{masse}\:\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{fluide}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}plac}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{est}\:\acute {\mathrm{e}gale}\:\grave {\mathrm{a}}\:\mathrm{la}\:\mathrm{masse}\:\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{corps}\:\mathrm{immerg}\acute {\mathrm{e}}.\:\mathrm{Il}\:\mathrm{vient}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\rho_{{s}} {HS}\:=\:\rho_{\mathrm{1}} {hS}+\rho_{\mathrm{2}} \left({H}−{h}\right){S} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Apr}\grave {\mathrm{e}s}\:\mathrm{simplification}\:\mathrm{par}\:{S},\:\mathrm{on}\:\mathrm{retrouve} \\ $$$$\mathrm{bien}\:\mathrm{la}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{pr}\acute {\mathrm{e}c}\acute {\mathrm{e}dente}.\:\mathrm{Supposons} \\ $$$$\rho_{\mathrm{1}} \:<\:\rho_{\mathrm{2}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{posons}\:{x}\:=\:\frac{{h}}{{H}}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\rho_{{s}} \:=\:\rho_{\mathrm{1}} {x}+\rho_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right),\:\mathrm{d}'\mathrm{o}\grave {\mathrm{u}}\:: \\ $$$$ \\ $$$${x}\:=\:\frac{{h}}{{H}}\:=\:\frac{\rho_{\mathrm{2}} −\rho_{{s}} }{\rho_{\mathrm{2}} −\rho_{\mathrm{1}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Comme}\:{x}\:\mathrm{est}\:\mathrm{compris}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:\mathrm{1}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{voit}\:\mathrm{que}\:\rho_{{s}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{tel}\:\mathrm{que}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\rho_{\mathrm{1}} \:<\:\rho_{{s}} \:<\:\rho_{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by puissant last updated on 27/Aug/21

vous etes le meilleur..

$${vous}\:{etes}\:{le}\:{meilleur}.. \\ $$

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 28/Aug/21

Le meilleur se pre^� nommait Be^� bert et il est mort a^� Princeton en 1955. :−)

$${Le}\:{meilleur}\:{se}\:{pr}\acute {{e}nommait}\:{B}\acute {{e}bert} \\ $$$$\left.{et}\:{il}\:{est}\:{mort}\:\grave {{a}}\:{Princeton}\:{en}\:\mathrm{1955}.\::−\right) \\ $$

Commented by puissant last updated on 27/Aug/21

hahahaha !!!!!

$${hahahaha}\:!!!!! \\ $$

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