Question Number 15232 by tawa tawa last updated on 08/Jun/17
$$\mathrm{For}\:\mathrm{what}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{a}\:\:\mathrm{does}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{system}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{non}\:\mathrm{trivial}\: \\ $$$$\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{ax}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{3x}_{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2x}_{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{4x}_{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ax}_{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{5x}_{\mathrm{1}} \:−\:\mathrm{6x}_{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{7x}_{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 08/Jun/17
![A= [(a,3,(−2)),((−1),4,a),(5,(−6),(−7)) ] ∣A∣=a(−28+6a)−3(7−5a)−2(6−20) =6a^2 −28a−21+15a+28 =6a^2 −13a+7=0 a=((13±(√(13^2 −4×6×7)))/(2×6))=((13±1)/(12))=1,(7/6)](Q15252.png)
$$\mathrm{A}=\begin{bmatrix}{\mathrm{a}}&{\mathrm{3}}&{−\mathrm{2}}\\{−\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{a}}\\{\mathrm{5}}&{−\mathrm{6}}&{−\mathrm{7}}\end{bmatrix} \\ $$$$\mid\mathrm{A}\mid=\mathrm{a}\left(−\mathrm{28}+\mathrm{6a}\right)−\mathrm{3}\left(\mathrm{7}−\mathrm{5a}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{6}−\mathrm{20}\right) \\ $$$$=\mathrm{6a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{28a}−\mathrm{21}+\mathrm{15a}+\mathrm{28} \\ $$$$=\mathrm{6a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{13a}+\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{13}\pm\sqrt{\mathrm{13}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{6}×\mathrm{7}}}{\mathrm{2}×\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{13}\pm\mathrm{1}}{\mathrm{12}}=\mathrm{1},\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 08/Jun/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$