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Question Number 154012 by mathdanisur last updated on 13/Sep/21

Determine all the perfect squares on form p^n + 1 where p is a prime number and n a positive integer.

$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{squares}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{form}\:\:\boldsymbol{\mathrm{p}}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:+\:\mathrm{1}\:\:\mathrm{where}\:\:\boldsymbol{\mathrm{p}}\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{prime}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\boldsymbol{\mathrm{n}}\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integer}. \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Sep/21

For some cases p^n + 1=q^2 ⇒q^2 −1=p^n (q−1)(q+1)=p^n n=1: (q−1)(q+1)=p q−1=1∧ q+1=p q=2 ∧ p=3 q^2 =4 n=2:(q−1)(q+1)=p^2 case1: q−1=1∧ q+1=p^2 q=2 ∧ p^2 =3 (false) case2: q−1=q+1=p(false) For n=2 no p n=3:q^2 −1=p^3 p^3 +1=q^2 (p+1)(p^2 −p+1)=q^2 p+1=p^2 −p+1 p^2 −2p=0 p(p−2)=0 p=0(false) ∨ p=2 (true) p=2⇒q^2 =p^3 +1=2^3 +1=9 q^2 =9

$$\mathrm{For}\:\mathrm{some}\:\mathrm{cases} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{p}}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:+\:\mathrm{1}=\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{p}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{q}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{p}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{1}:\:\left(\mathrm{q}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{p} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}−\mathrm{1}=\mathrm{1}\wedge\:\mathrm{q}+\mathrm{1}=\mathrm{p} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}=\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{p}=\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{2}:\left(\mathrm{q}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{case1}:\:\mathrm{q}−\mathrm{1}=\mathrm{1}\wedge\:\mathrm{q}+\mathrm{1}=\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}=\mathrm{2}\:\:\wedge\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}\:\left(\mathrm{false}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{case2}:\:\mathrm{q}−\mathrm{1}=\mathrm{q}+\mathrm{1}=\mathrm{p}\left(\mathrm{false}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{2}\:\mathrm{no}\:\mathrm{p} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{3}:\mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{p}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}=\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{p}+\mathrm{1}=\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{p}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2p}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{p}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{p}=\mathrm{0}\left(\mathrm{false}\right)\:\vee\:\mathrm{p}=\mathrm{2}\:\left(\mathrm{true}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{p}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}=\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 13/Sep/21

Very nice Ser, thank you

$$\mathrm{Very}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{Ser},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Sep/21

p^n + 1=q^2 p^n =(q−1)(q+1) q−1=p^m ⇒q+1=p^(n−m) p^(n−m) −p^m =(q+1)−(q−1)=2 p^(n−m) −p^m =2 (Two powers of a prime having difference 2) 2^2 −2^1 =2⇒q−1=2 ∧ q+1=4 ⇒q^2 −1=8⇒q^2 =9 (Only these two powers of 2 have difference 2)^★ 3^1 −3^0 =2⇒q−1=3^0 ∧ q+1=3^1 ⇒q^2 −1=3⇒q^2 =4 (Only these two powers of 3 have difference 2)^(★★) p>3:p^m −p^n >2 for any m,n

$$\boldsymbol{\mathrm{p}}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:+\:\mathrm{1}=\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{p}}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:=\left(\mathrm{q}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{q}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{q}−\mathrm{1}=\mathrm{p}^{\mathrm{m}} \Rightarrow\mathrm{q}+\mathrm{1}=\mathrm{p}^{\mathrm{n}−\mathrm{m}} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{n}−\mathrm{m}} −\mathrm{p}^{\mathrm{m}} =\left(\mathrm{q}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{q}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{n}−\mathrm{m}} −\mathrm{p}^{\mathrm{m}} =\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathcal{T}{wo}\:{powers}\:{of}\:{a}\:{prime}\:{having}\:\right. \\ $$$$\left.{difference}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{q}−\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{q}+\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$$$\left({Only}\:{these}\:{two}\:{powers}\:{of}\:\mathrm{2}\:{have}\:\right. \\ $$$$\left.{difference}\:\mathrm{2}\right)^{\bigstar} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}} −\mathrm{3}^{\mathrm{0}} =\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{q}−\mathrm{1}=\mathrm{3}^{\mathrm{0}} \:\wedge\:\mathrm{q}+\mathrm{1}=\mathrm{3}^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4} \\ $$$$\left({Only}\:{these}\:{two}\:{powers}\:{of}\:\mathrm{3}\:{have}\:\right. \\ $$$$\left.{difference}\:\mathrm{2}\right)^{\bigstar\bigstar} \\ $$$$\:\:\mathrm{p}>\mathrm{3}:\mathrm{p}^{\mathrm{m}} −\mathrm{p}^{\mathrm{n}} >\mathrm{2}\:{for}\:{any}\:{m},{n} \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Sep/21

^★ 2^1 −2^0 =1(×) 2^2 −2^1 =2(✓) 2^m −2^n >2(×) for m,n>2 ∧ m≠n ^(★★) 3^1 −3^0 =2(✓) 3^m −3^n >2(×) for m,n>1∧ m≠n

$$\:^{\bigstar} \mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{\mathrm{0}} =\mathrm{1}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\left(\checkmark\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{{m}} −\mathrm{2}^{{n}} >\mathrm{2}\left(×\right)\:\:{for}\:{m},{n}>\mathrm{2}\:\wedge\:{m}\neq{n} \\ $$$$ \\ $$$$\:^{\bigstar\bigstar} \mathrm{3}^{\mathrm{1}} −\mathrm{3}^{\mathrm{0}} =\mathrm{2}\left(\checkmark\right) \\ $$$$\mathrm{3}^{{m}} −\mathrm{3}^{{n}} >\mathrm{2}\left(×\right)\:{for}\:{m},{n}>\mathrm{1}\wedge\:{m}\neq{n} \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 14/Sep/21

very nice Ser thanks

$$\mathrm{very}\:\mathrm{nice}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er}\:\mathrm{thanks} \\ $$

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