Question Number 154849 by naka3546 last updated on 22/Sep/21
$${ax}\:+\:{y}\:+\:{z}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$${x}\:+\:{ay}\:+\:{z}\:=\:{a} \\ $$$${x}\:+\:{y}\:+\:{az}\:=\:{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$${Find}\:\:{value}\:\:{of}\:\:{x},\:{y},\:{z}\:\:\:{in}\:\:{a}\:. \\ $$
Answered by Mr.D.N. last updated on 24/Sep/21
![ax+y+z=1.....(i) x+ay+z=a.....(ii) x+y+az=a^2 ......(iii) (i)−(ii) ax+y+z = 1 ((−x−ay−z= −a)/(ax+y−x−ay=1−a)) or x(a−1)−y(a−1)=1−a or (a−1)(x−y)=1−a or x−y= ((1−a)/(−(1−a))) x−y= −1......(iv) Again, (ii)×a−(iii) ax+a^2 y+az= a^2 ((−x−y−az =−a^2 )/(ax+a^2 y−x−y= 0)) or x(a−1)+y(a^2 −1)=0 x=− ((y(a^2 −1))/((a−1))) x=−y(a+1).......(v) Substitute the eq^n (v) in eq^n (iv) x−y = −1 − y(a+1)−y= −1 −ya−y−y=−1 − ya−2y = −1 − y(a+2)= −1 y= (1/(a+2)) Put the value of y in (v) x=− y(a+1) x= −(1/(a+2))(a+1) x= −((a+1)/(a+2))//. Now, Put the value of x & y in eq^n (i) for value z. ax+y+z= 1 −a((a+1)/(a+2))+(1/(a+2)) +z=1 ((−(a^2 +a))/(a+2))+(1/(a+2))+z=1 z= 1+((a^2 +a)/(a+2)) −(1/(a+2)) z = 1+((a^2 +a−1)/(a+2)) z= ((a+2+a^2 +a−1)/(a+2))= ((a^2 +2a+1)/(a+2)) z = (((a+1)^2 )/(a+2)) ∴ [x = −((a+1)/(a+2)) , y=(1/(a+2)) & z= (((a+1)^2 )/(a+2)) ]//.](Q154882.png)
$$\:\:\:\mathrm{ax}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{1}.....\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{ay}+\mathrm{z}=\mathrm{a}.....\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{az}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} ......\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{i}\right)−\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ax}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\:\:=\:\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{ay}−\mathrm{z}=\:−\mathrm{a}}{\mathrm{ax}+\mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{ay}=\mathrm{1}−\mathrm{a}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{or}\:\:\:\:\:\mathrm{x}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{a} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{or}\:\:\:\:\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{a} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}}{−\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}=\:−\mathrm{1}......\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{Again}, \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right)×\mathrm{a}−\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{az}=\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{y}−\mathrm{az}\:=−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}−\mathrm{x}−\mathrm{y}=\:\mathrm{0}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{or}\:\:\:\mathrm{x}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\:\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{y}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right).......\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{Substitute}\:\mathrm{the}\:\mathrm{eq}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{v}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{eq}^{\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}\:=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:−\:\mathrm{y}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{y}=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:−\mathrm{ya}−\mathrm{y}−\mathrm{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:−\:\mathrm{ya}−\mathrm{2y}\:=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:−\:\mathrm{y}\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{Put}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}=−\:\mathrm{y}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}=\:−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}//. \\ $$$$\:\:\mathrm{Now},\:\mathrm{Put}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}\:\&\:\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{eq}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{value}\:\mathrm{z}. \\ $$$$\:\:\:\mathrm{ax}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:−\mathrm{a}\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}\:+\mathrm{z}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\frac{−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}\right)}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}+\mathrm{z}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{z}=\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{z}\:=\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{z}=\:\frac{\mathrm{a}+\mathrm{2}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{z}\:=\:\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\therefore\:\left[\mathrm{x}\:=\:−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{2}}\:\&\:\mathrm{z}=\:\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}+\mathrm{2}}\:\right]//. \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Sep/21
$$\mathcal{G}\overset{\frown} {\mathcal{O}}\overset{\frown} {\mathcal{O}D}\:\&\:\:\mathcal{E}{xplained}\:\mathcal{A}{nswer}! \\ $$
Commented by Mr.D.N. last updated on 24/Sep/21
$$\:\mathrm{No}\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{right}\:\checkmark\:\mathrm{before}\:\:\mathrm{in}\:\mathrm{my}\:\mathrm{explaination}\:\mathrm{has}\:\mathrm{been}\: \\ $$$$\:\mathrm{going}\:\mathrm{some}\:\mathrm{error}\:\mathrm{now}\:\mathrm{its}\:\mathrm{completly} \\ $$$$\:\:\mathrm{done}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{sir}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by naka3546 last updated on 22/Sep/21
$${thank}\:\:{you}\:,\:\:{sir}\:. \\ $$
Commented by naka3546 last updated on 23/Sep/21
$${I}\:\:{got}\:\:{that}\:\:\:{y}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{a}+\mathrm{2}}\:\:;\:\:{x}\:=\:−\frac{{a}+\mathrm{1}}{{a}+\mathrm{2}}\:;\:\:{z}\:=\:\frac{\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{a}+\mathrm{2}} \\ $$$${Am}\:\:{I}\:\:{wrong},\:{sir}\:? \\ $$