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Question Number 154986 by mathdanisur last updated on 23/Sep/21

Solve the system in R 2x = ((y^2 - 4y + 1)/(y^2 - y + 1)) y = ((-x^2 + 6x - 1)/(3x^2 - 2x + 3))

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{in}\:\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{2x}\:=\:\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\:\frac{-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 25/Sep/21

2x = ((y^2 - 4y + 1)/(y^2 - y + 1)) ; y = ((-x^2 + 6x - 1)/(3x^2 - 2x + 3)) 2x−1=((y^2 - 4y + 1)/(y^2 - y + 1))−1 =((−3y)/(y^2 - y + 1)) (1/(2x−1))−1=((y^2 −y+1)/(−3y))−1 ((1−2x+1)/(2x−1))=((y^2 +2y+1)/(−3y)) ((2−2x)/(2x−1))=(((y+1)^2 )/(−3y))=(((((-x^2 + 6x - 1)/(3x^2 - 2x + 3))+1)^2 )/(−3(((-x^2 + 6x - 1)/(3x^2 - 2x + 3))))) ((2x−2)/(2x−1))=(((((2x^2 +4x+2)/(3x^2 −2x+3)))^2 )/((3(-x^2 + 6x - 1))/(3x^2 - 2x + 3))) =((4(x+1)^4 )/((3x^2 −2x+3)^2 ))×((3x^2 −2x+3)/(3(-x^2 + 6x - 1))) ((x−1)/(2x−1)) =((2(x+1)^4 )/(3(3x^2 −2x+3)(-x^2 + 6x - 1))) ▶3(x−1)(3x^2 −2x+3)(-x^2 + 6x - 1) =2(2x−1)(x+1)^4 ▶9x^5 −69x^4 +114x^3 −114x^2 +69x−9 +4x^5 +14x^4 +16x^3 +4x^2 −4x−2=0 ▶13x^5 −55x^4 +130x^3 −110x^2 +65x−11=0 No factors Numerical methods be applied.

$$\mathrm{2x}\:=\:\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}}\:;\:\mathrm{y}\:=\:\frac{-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{2x}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{−\mathrm{3y}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}+\mathrm{1}}{−\mathrm{3y}}−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}+\mathrm{1}}{−\mathrm{3y}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2x}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{3y}}=\frac{\left(\frac{-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{−\mathrm{3}\left(\frac{-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }{\frac{\mathrm{3}\left(-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{3}\left(-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)\left(-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)\left(-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{9x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{69x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{114x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{114x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{69x}−\mathrm{9} \\ $$$$+\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{14x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{16x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{13x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{55x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{130x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{110x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{65x}−\mathrm{11}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{No}\:{factors} \\ $$$${Numerical}\:{methods}\:{be}\:{applied}. \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 25/Sep/21

My dear Ser x = ((u - 1)/(u + 1)) and y = ((v - 1)/(v + 1))

$$\mathrm{My}\:\mathrm{dear}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}\:=\:\frac{\mathrm{u}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{u}\:+\:\mathrm{1}}\:\:\mathrm{and}\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}\:=\:\frac{\mathrm{v}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{v}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 24/Sep/21

2x = ((y^2 - 4y + 1)/(y^2 - y + 1)) , y = ((-x^2 + 6x - 1)/(3x^2 - 2x + 3)) Let x=k: 2k(y^2 −y+1)=y^2 −4y+1 (2k−1)y^2 −2(k−2)y+2k−1=0 y=((2(k−2)±(√(4(k−2)^2 −4(2k−1)^2 )))/(2(2k−1))) y=((2(k−2)±(√(4k^2 −16k+16−16k^2 +16k+4)))/(2(2k−1))) y=((2(k−2)±(√(−12k^2 +20)))/(2(2k−1))) y=((2(k−2)±2(√(5−3k^2 )))/(2(2k−1))) y=(((k−2)±(√(5−3k^2 )))/(2k−1)) 5−3k^2 ≥0 k^2 ≤(5/3)⇒x^2 ≤(5/3)⇒x≤±(√(5/3)) x≤−(√(5/3)) ∨ x≤(√(5/3)) Continue

$$\mathrm{2x}\:=\:\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{4y}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}}\:,\:\mathrm{y}\:=\:\frac{-\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6x}\:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}} \\ $$$${Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{k}: \\ $$$$\mathrm{2k}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4y}+\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)\mathrm{y}+\mathrm{2k}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)\pm\sqrt{\mathrm{4}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)\pm\sqrt{\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16k}+\mathrm{16}−\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16k}+\mathrm{4}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)\pm\sqrt{−\mathrm{12k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}−\mathrm{3k}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\left(\mathrm{k}−\mathrm{2}\right)\pm\sqrt{\mathrm{5}−\mathrm{3k}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}−\mathrm{3k}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \leqslant\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \leqslant\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant\pm\sqrt{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}\leqslant−\sqrt{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}}\:\:\:\vee\:\:\mathrm{x}\leqslant\sqrt{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{Continue} \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 24/Sep/21

Thank you, answer how Ser

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you},\:\mathrm{answer}\:\mathrm{how}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er} \\ $$

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