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Question Number 155386 by mathdanisur last updated on 29/Sep/21

Prove that: Σ_(k=1) ^∞ (((H_k )^3 )/2^k ) = ((3ζ(3) + ln^3 2 + π^2 ln2)/3)

$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{H}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} \right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{\boldsymbol{\mathrm{k}}} }\:=\:\frac{\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{3}\right)\:+\:\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{2}\:+\:\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{ln2}}{\mathrm{3}}\:\: \\ $$

Answered by Kamel last updated on 30/Sep/21

Prove that: Σ_(k=1) ^∞ (((H_k )^3 )/2^k ) = ((3ζ(3) + ln^3 2 + π^2 ln2)/3) Ω=Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^3 )/2^n )=Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_(n+1) −(1/(n+1)))^3 )/2^n ) =2Σ_(n=2) ^(+∞) (((H_n )^3 )/2^n )−6Σ_(n=2) ^(+∞) (((H_n )^2 )/(n2^n ))+6Σ_(n=2) ^(+∞) (H_n /(n^2 2^n ))−2Σ_(n=2) ^(+∞) (1/(n^3 2^n )) =2Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^3 )/2^n )−6Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^2 )/(n2^n ))+6Σ_(n=1) ^(+∞) (H_n /(n^2 2^n ))−2Σ_(n=1) ^(+∞) (1/(n^3 2^n )) ∴Ω=6Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^2 )/(n2^n ))−6Σ_(n=1) ^(+∞) (H_n /(n^2 2^n ))+2Σ_(n=1) ^(+∞) (1/(n^3 2^n )) Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^2 )/(n2^n ))=Σ_(n=1) ^(+∞) (1/(n2^n ))((H_(n+1) )^2 −((2H_(n+1) )/(n+1))+(1/((n+1)^2 ))) Ω_1 =Σ_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^2 )/(n2^n )),f(x)=Σ_(n=1) ^(+∞) (1/n)H_n ^2 x^n f′(x)=(1/x)Σ_(n=1) ^(+∞) (H_(n+1) ^2 −((2H_(n+1) )/(n+1))+(1/((n+1)^2 )))x^(n−1) =(1/x)(f′(x)−(2/x)(Li_2 (x)+(1/2)Ln^2 (1−x))+((Li_2 (x))/x) ∴Ω_1 =f((1/2))=∫_0 ^(1/2) (((Ln^2 (1−x))/(x(1−x)))+((Li_2 (x))/x)+((Li_2 (x))/(1−x)))dx =Li_3 ((1/2))+Ln(2)Li_2 ((1/2))+((Ln^3 (2))/3)=((7ζ(3))/8)...(1) Ω_2 =Σ_(n=1) ^(+∞) (H_n /(n^2 2^n ))=∫_0 ^(1/2) (H_n /n)x^(n−1) dx=∫_0 ^(1/2) ((Li_2 (x))/x)dx+(1/2)∫_0 ^(1/2) ((Ln^2 (1−x))/x)dx =−(1/2)∫_0 ^(1/2) Σ_(n=0) ^(+∞) x^n Ln^2 (x)dx+ζ(3)=ζ(3)−((Ln^3 (2))/2)−Ln(2)Li_2 ((1/2)) =ζ(3)−(π^2 /(12))Ln(2) Ω=6Ω_1 −6Ω_2 +2Li_3 ((1/2))=ζ(3)+((Ln^3 (2)+π^2 Ln(2))/3) ∴ 𝚺_(n=1) ^(+∞) (((H_n )^3 )/2^n )=((3𝛇(3)+𝛑^2 Ln(2)+Ln^3 (2))/3) Note_(−) : Li_3 ((1/2))=∫_0 ^(1/2) ((Li_2 (x))/x)dx=((7ζ(3))/8)+((Ln^3 (2))/6)−(π^2 /(12))Ln(2) KAMEL BENAICHA

$$ \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{H}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} \right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{\boldsymbol{\mathrm{k}}} }\:=\:\frac{\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{3}\right)\:+\:\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{2}\:+\:\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{ln2}}{\mathrm{3}}\:\: \\ $$$$ \\ $$$$\Omega=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }−\mathrm{6}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{6}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{{n}} }−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{{n}} }−\mathrm{6}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{6}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{{n}} }−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\:\therefore\Omega=\mathrm{6}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} }−\mathrm{6}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{{n}} }+\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\mathrm{2}^{{n}} }\left(\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}{H}_{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\Omega_{\mathrm{1}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left({H}_{{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} },{f}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}{H}_{{n}} ^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}{H}_{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left({f}'\left({x}\right)−\frac{\mathrm{2}}{{x}}\left({Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\right)+\frac{{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{{x}}\right. \\ $$$$\therefore\Omega_{\mathrm{1}} ={f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\frac{{Ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}+\frac{{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{{x}}+\frac{{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+{Ln}\left(\mathrm{2}\right){Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{{Ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{7}\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{8}}...\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Omega_{\mathrm{2}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{{n}} }=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \frac{{H}_{{n}} }{{n}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \frac{{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{{x}}{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \frac{{Ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}{x}^{{n}} {Ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right){dx}+\zeta\left(\mathrm{3}\right)=\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{{Ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}−{Ln}\left(\mathrm{2}\right){Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}{Ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Omega=\mathrm{6}\Omega_{\mathrm{1}} −\mathrm{6}\Omega_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{{Ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)+\pi^{\mathrm{2}} {Ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\therefore\:\:\underset{\boldsymbol{{n}}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\boldsymbol{\sum}}}\frac{\left(\boldsymbol{{H}}_{\boldsymbol{{n}}} \right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}^{\boldsymbol{{n}}} }=\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\zeta}\left(\mathrm{3}\right)+\boldsymbol{\pi}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{Ln}}\left(\mathrm{2}\right)+\boldsymbol{{Ln}}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{−} {\boldsymbol{{Note}}}:\:{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \frac{{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{{x}}{dx}=\frac{\mathrm{7}\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{8}}+\frac{{Ln}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{6}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}{Ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{KAMEL}}\:\boldsymbol{{BENAICHA}} \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 01/Oct/21

Great sir

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 01/Oct/21

thank you Ser

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er} \\ $$

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