Question Number 155991 by cortano last updated on 07/Oct/21 | ||
$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{term}\:\mathrm{a} \\ $$ | ||
Commented byRasheed.Sindhi last updated on 07/Oct/21 | ||
$${Mr}\:{cortano},\:{if}\:{you}\:{want}\:{answer} \\ $$ $$\boldsymbol{{in}}\:\boldsymbol{{terms}}\:\boldsymbol{{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:,\:{that}\:{is}\:{x},{y}\:{depepend} \\ $$ $${upon}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:{the}\:{following}\:{answer}\:{is} \\ $$ $${right}\:{the}\:{answer}\:{you}\:{are}\:{looking}\: \\ $$ $${for}: \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\mathrm{y}=\mathrm{a}−\mathrm{a}\left(\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$ $${Fix}\:{value}\:{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}},{calculate}\:{x}\:\&\:{y} \\ $$ $${there}\:{is}\:{the}\:{solution}\:{which}\:{is} \\ $$ $${satisfied}\:{by}\:{both}\:{given}\:{equations} \\ $$ $${for}\:{that}\:{fixed}\:{value}\:{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}. \\ $$ $${For}\:{easy}\:{cases}\:{substitute}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}=\pm\mathrm{13} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\pm\mathrm{13}\right)^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12}\left(\pm\mathrm{13}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2}\left(\pm\mathrm{13}\right)^{\mathrm{2}} }\: \\ $$ $$\:\:\:=\frac{−\mathrm{339}\pm\mathrm{45}}{−\mathrm{336}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}} \\ $$ $$\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{13}−\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\right)=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}} \\ $$ $$\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{13}−\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}}\right)=−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}} \\ $$ $$\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}\right),\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}},−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}}\right)\:{for}\:\mathrm{a}=\mathrm{13} \\ $$ $$\mathrm{VERIFICATION}: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{cases}\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)}\\{\mathrm{13}+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{13}+\mathrm{2}\right)\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{3}} }\end{cases}\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{7}+\mathrm{16}}{\mathrm{8}}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)}\\{\frac{\mathrm{13}.\mathrm{8}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}.\mathrm{7}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{13}^{\mathrm{3}} +\mathrm{15}.\mathrm{7}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }}\end{cases}\:\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{23}+\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)\Rightarrow\mathrm{13}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)}\\{\frac{\mathrm{7342}}{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{7342}}{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }}\end{cases}\:\: \\ $$ $$\:\mathrm{V}\overset{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:} {\:\:\mathrm{E}\:\:\mathrm{R}\:\:\mathrm{I}\:\:\mathrm{F}\:\:\mathrm{I}\:\:\mathrm{E}\:\:}\mathrm{D} \\ $$ | ||
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Oct/21 | ||
$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}.......\left({i}\right)}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} ......\left({ii}\right)}\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{term}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\left(\mathrm{i}\right):\mathrm{y}=\mathrm{3a}−\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)...\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right):\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{a}−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\:\:\:\:=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)..........\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$ $$\left(\mathrm{iv}\right)\&\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$ $$\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} \:\:\:\:\left[\mathrm{a}\neq\mathrm{0}\right] \\ $$ $$\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\:\left[\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right] \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{2xa}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)\pm\sqrt{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$ $$\:\:\bigtriangleup=\mathrm{1}+\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \right) \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}+\mathrm{8a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{y}=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$ $$\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{a}−\mathrm{a}\left(\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{simplified}\right) \\ $$ | ||
Commented bycortano last updated on 07/Oct/21 | ||
$$\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{sir}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$ | ||
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Oct/21 | ||
$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{term}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\begin{cases}{\mathrm{y}=\mathrm{3a}−\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)...\mathrm{A}}\\{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)...\mathrm{B}}\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{A}\:\&\:\mathrm{B}\::\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$ $$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left\{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right\}=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mid\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}^{\bigstar} \\ $$ $$\mathrm{If}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{3a}+\mathrm{y}=\mathrm{3a}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}=\mathrm{1},\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{Answer}\:\mathrm{free}\:\mathrm{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $$\:^{\bigstar} {Will}\:{produce}\:{results}\:{in}\:{terms}\:{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}} \\ $$ | ||