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Question Number 155991 by cortano last updated on 07/Oct/21

{ ((a(x+2)+y=3a)),((a+2x^3 =y^3 +(a+2)x^3 )) :} solve for x &y in term a

$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{term}\:\mathrm{a} \\ $$

Commented byRasheed.Sindhi last updated on 07/Oct/21

Mr cortano, if you want answer in terms of a , that is x,y depepend upon a the following answer is right the answer you are looking for: x=((−1−2a^2 ±(√(12a^2 −3)))/(2−2a^2 )) y=a−a(((−1−2a^2 ±(√(12a^2 −3)))/(2−2a^2 ))) Fix value of a,calculate x & y there is the solution which is satisfied by both given equations for that fixed value of a. For easy cases substitute a=±13 x=((−1−2(±13)^2 ±(√(12(±13)^2 −3)))/(2−2(±13)^2 )) =((−339±45)/(−336))=(7/8),(8/7) y_1 =13−13((7/8))=((13)/8) y_2 =13−13((8/7))=−((13)/7) (x,y)=((7/8),((13)/8)),((8/7),−((13)/7)) for a=13 VERIFICATION: { ((a(x+2)+y=3a)),((a+2x^3 =y^3 +(a+2)x^3 )) :} { ((13((7/8)+2)+((13)/8)=3(13))),((13+2((7/8))^3 =(((13)/8))^3 +(13+2)((7/8))^3 )) :} { ((13(((7+16)/8))+((13)/8)=3(13))),((((13.8^3 +2.7^3 )/8^3 )=((13^3 +15.7^3 )/8^3 ))) :} { ((13(((23+1)/8))=3(13)⇒13(3)=3(13))),((((7342)/8^3 )=((7342)/8^3 ))) :} V E R I F I E ^( ) D

$${Mr}\:{cortano},\:{if}\:{you}\:{want}\:{answer} \\ $$ $$\boldsymbol{{in}}\:\boldsymbol{{terms}}\:\boldsymbol{{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:,\:{that}\:{is}\:{x},{y}\:{depepend} \\ $$ $${upon}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:{the}\:{following}\:{answer}\:{is} \\ $$ $${right}\:{the}\:{answer}\:{you}\:{are}\:{looking}\: \\ $$ $${for}: \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\mathrm{y}=\mathrm{a}−\mathrm{a}\left(\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$ $${Fix}\:{value}\:{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}},{calculate}\:{x}\:\&\:{y} \\ $$ $${there}\:{is}\:{the}\:{solution}\:{which}\:{is} \\ $$ $${satisfied}\:{by}\:{both}\:{given}\:{equations} \\ $$ $${for}\:{that}\:{fixed}\:{value}\:{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}. \\ $$ $${For}\:{easy}\:{cases}\:{substitute}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}=\pm\mathrm{13} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\pm\mathrm{13}\right)^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12}\left(\pm\mathrm{13}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2}\left(\pm\mathrm{13}\right)^{\mathrm{2}} }\: \\ $$ $$\:\:\:=\frac{−\mathrm{339}\pm\mathrm{45}}{−\mathrm{336}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}} \\ $$ $$\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{13}−\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\right)=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}} \\ $$ $$\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{13}−\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}}\right)=−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}} \\ $$ $$\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}\right),\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}},−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}}\right)\:{for}\:\mathrm{a}=\mathrm{13} \\ $$ $$\mathrm{VERIFICATION}: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{cases}\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)}\\{\mathrm{13}+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{13}+\mathrm{2}\right)\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{3}} }\end{cases}\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{7}+\mathrm{16}}{\mathrm{8}}\right)+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{8}}=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)}\\{\frac{\mathrm{13}.\mathrm{8}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}.\mathrm{7}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{13}^{\mathrm{3}} +\mathrm{15}.\mathrm{7}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }}\end{cases}\:\: \\ $$ $$\:\begin{cases}{\mathrm{13}\left(\frac{\mathrm{23}+\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)\Rightarrow\mathrm{13}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}\right)}\\{\frac{\mathrm{7342}}{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{7342}}{\mathrm{8}^{\mathrm{3}} }}\end{cases}\:\: \\ $$ $$\:\mathrm{V}\overset{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:} {\:\:\mathrm{E}\:\:\mathrm{R}\:\:\mathrm{I}\:\:\mathrm{F}\:\:\mathrm{I}\:\:\mathrm{E}\:\:}\mathrm{D} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Oct/21

{ ((a(x+2)+y=3a.......(i))),((a+2x^3 =y^3 +(a+2)x^3 ......(ii))) :} solve for x &y in term a (i):y=3a−a(x+2)=a(1−x)...(iii) (ii):y^3 =a+2x^3 −(a+2)x^3 =a+x^3 (2−a−2) =a(1−x^3 )..........(iv) (iv)&(iii):a(1−x^3 )=a^3 (1−x)^3 1−x^3 =a^2 (1−x)^3 [a≠0] 1−x^3 −a^2 (1−x)^3 =0 (1−x)(1+x+x^2 )−a^2 (1−x)^3 =0 (1+x+x^2 )−a^2 (1−x)^2 =0 [x≠1] x^2 +x+1−a^2 (x^2 −2x+1)=0 x^2 −a^2 x^2 +x+2xa^2 +1−a^2 =0 (1−a^2 )x^2 +(1+2a^2 )x+(1−a^2 )=0 x=((−(1+2a^2 )±(√((1+2a^2 )^2 −4(1−a^2 )^2 )))/(2(1−a^2 ))) △=1+4a^4 +4a^2 −4(1−2a^2 +a^4 ) =1+4a^4 +4a^2 −4+8a^2 −4a^4 =12a^2 −3 x=((−1−2a^2 ±(√(12a^2 −3)))/(2−2a^2 )) (iii):y=a(1−x) y=a−a(((−1−2a^2 ±(√(12a^2 −3)))/(2−2a^2 ))) (to be simplified)

$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}.......\left({i}\right)}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} ......\left({ii}\right)}\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{term}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\left(\mathrm{i}\right):\mathrm{y}=\mathrm{3a}−\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)...\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right):\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{a}−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\:\:\:\:=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)..........\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$ $$\left(\mathrm{iv}\right)\&\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$ $$\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} \:\:\:\:\left[\mathrm{a}\neq\mathrm{0}\right] \\ $$ $$\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\:\left[\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right] \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{2xa}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)\pm\sqrt{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$ $$\:\:\bigtriangleup=\mathrm{1}+\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \right) \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}+\mathrm{8a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$ $$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{y}=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$ $$\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{a}−\mathrm{a}\left(\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \pm\sqrt{\mathrm{12a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{\mathrm{2}−\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{simplified}\right) \\ $$

Commented bycortano last updated on 07/Oct/21

x=1 solution sir⇒y=0

$$\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{sir}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Oct/21

{ ((a(x+2)+y=3a)),((a+2x^3 =y^3 +(a+2)x^3 )) :} solve for x &y in term a { ((y=3a−a(x+2)=a(1−x)...A)),((y^3 =a+2x^3 −(a+2)x^3 =a(1−x^3 )...B)) :} A & B : a^3 (1−x)^3 =a(1−x^3 ) a^2 (1−x)^3 −(1−x^3 )=0 (1−x){a^2 (1−x)−(1+x+x^2 )}=0 x=1 ∣ a^2 −a^2 x−1−x−x^2 =0^★ If x=1 a(x+2)+y=3a⇒a(1+2)+y=3a ⇒3a+y=3a⇒y=0 x=1,y=0 (Answer free of a) ^★ Will produce results in terms of a

$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{y}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\&\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\mathrm{term}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\begin{cases}{\mathrm{y}=\mathrm{3a}−\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)...\mathrm{A}}\\{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{a}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)...\mathrm{B}}\end{cases} \\ $$ $$\:\mathrm{A}\:\&\:\mathrm{B}\::\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{a}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$ $$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left\{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right\}=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mid\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}^{\bigstar} \\ $$ $$\mathrm{If}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a}\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{y}=\mathrm{3a} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{3a}+\mathrm{y}=\mathrm{3a}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}=\mathrm{1},\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{Answer}\:\mathrm{free}\:\mathrm{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $$\:^{\bigstar} {Will}\:{produce}\:{results}\:{in}\:{terms}\:{of}\:\boldsymbol{\mathrm{a}} \\ $$

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