Question Number 156059 by cortano last updated on 07/Oct/21
Commented by john_santu last updated on 07/Oct/21
$${g}\left({x}\right)=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +\left({h}\left({x}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{g}\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}=\:{u}\left({x}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)+{ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d} \\ $$$${where}\:{ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d}\:{is}\:{remainder} \\ $$$${when}\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{28}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{49}{x}^{\mathrm{2}} \:{divided} \\ $$$${by}\:{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Answered by ajfour last updated on 07/Oct/21
 3x^3 +{(2x^3 −7x)+[h(x)](x^4 −3x+1)}^2 =(x^4 −3x+1)[s(x)] +ax^3 +bx^2 +cx+d now let x_1 ^4 +1=3x_1 ⇒ 3x_1 ^3 +(2x_1 ^3 −7x_1 )^2 =ax_1 ^3 +bx_1 ^2 +cx_1 +d ⇒ (3−a)(3x_1 −1)+4(3x_1 ^4 −x_1 ^3 ) −28(3x_1 ^2 −x_1 )+49x_1 ^3 =bx_1 ^3 +cx_1 ^2 +dx_1 ⇒ 9x_1 −3−3ax_1 +a+12(3x_1 −1) −4x_1 ^3 −84x_1 ^2 +28x_1 +(49−b)x_1 ^3 −cx_1 ^2 −dx_1 =0 ⇒ (45−b)x_1 ^3 −(84+c)x_1 ^2 +(73−3a−d)x_1 −15+a=0 ........(I) now again ×x_1 gives (45−b)(3x_1 −1)−(84+c)x_1 ^3 +(73−3a−d)x_1 ^2 −(15−a)x_1 =0 ⇒ (84+c)x_1 ^3 −(73−3a−d)x_1 ^2 −(120+3b−a)x_1 +(45−b)=0 .......(II) let me assume (I)≡(II) ⇒ ((45−b)/(84+c))=((84+c)/(73−3a−d))=((−73+3a+d)/(120+3b−a)) = ((15−a)/(b−45)) let a=15, c=−84, b=45 d=73−3(15)=28 ⇒ (a+b)−(c+d) =15+45+84−28 =60+56 = 116 .](Q156066.png)
$${f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}\right)+\left[{h}\left({x}\right)\right]\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +\left\{\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{x}\right)+\left[{h}\left({x}\right)\right]\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)\right\}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)\left[{s}\left({x}\right)\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+{ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d} \\ $$$${now}\:{let}\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} \:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{x}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:={ax}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{cx}_{\mathrm{1}} +{d} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{3}−{a}\right)\left(\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} −{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$−\mathrm{28}\left(\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{x}_{\mathrm{1}} \right)+\mathrm{49}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:={bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +{cx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{dx}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{9}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{3}−\mathrm{3}{ax}_{\mathrm{1}} +{a}+\mathrm{12}\left(\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\mathrm{4}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{84}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{28}{x}_{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{49}−{b}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \\ $$$$−{cx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{dx}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\left(\mathrm{45}−{b}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{84}+{c}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{73}−\mathrm{3}{a}−{d}\right){x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{15}+{a}=\mathrm{0} \\ $$$$........\left({I}\right) \\ $$$${now}\:{again}\:\:\:×{x}_{\mathrm{1}} \:\:\:{gives} \\ $$$$\left(\mathrm{45}−{b}\right)\left(\mathrm{3}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{84}+{c}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \\ $$$$+\left(\mathrm{73}−\mathrm{3}{a}−{d}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{15}−{a}\right){x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{84}+{c}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{73}−\mathrm{3}{a}−{d}\right){x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:−\left(\mathrm{120}+\mathrm{3}{b}−{a}\right){x}_{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{45}−{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$.......\left({II}\right) \\ $$$${let}\:{me}\:{assume}\:\:\left({I}\right)\equiv\left({II}\right)\:\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{45}−{b}}{\mathrm{84}+{c}}=\frac{\mathrm{84}+{c}}{\mathrm{73}−\mathrm{3}{a}−{d}}=\frac{−\mathrm{73}+\mathrm{3}{a}+{d}}{\mathrm{120}+\mathrm{3}{b}−{a}} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{15}−{a}}{{b}−\mathrm{45}} \\ $$$${let}\:\:{a}=\mathrm{15},\:\:{c}=−\mathrm{84},\:{b}=\mathrm{45} \\ $$$${d}=\mathrm{73}−\mathrm{3}\left(\mathrm{15}\right)=\mathrm{28} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\left({a}+{b}\right)−\left({c}+{d}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{15}+\mathrm{45}+\mathrm{84}−\mathrm{28} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{60}+\mathrm{56}\:=\:\mathrm{116}\:. \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 08/Oct/21
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$