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Question Number 156639 by ajfour last updated on 13/Oct/21

x^3 =x+c x^4 =x^2 +cx let cx=kx^4 +hx^2 ⇒ kx^3 +hx=c x^2 =1+c(kx^2 +h) x^2 =((1+ch)/(1−ck)) (((1+ch)/(1−ck))){((k(1+ch))/(1−ck))+h}^2 =c^2 (1+ch)(h+k)^2 =c^2 (1−ck)^3 ⇒ (1+ch)(h^2 +k^2 +2hk) =c^2 (1−c^3 k^3 +3c^2 k^2 −3ck) c^5 k^3 +(1+ch−3c^4 )k^2 +{2h(1+ch)+3c^3 }k +(1+ch)h^2 −c^2 =0 let h=3c^3 −(1/c) ⇒ c^5 k^3 +{9c^3 −(2/c)+2c(3c^3 −(1/c))^2 }k +{3c^4 (3c^3 −(1/c))^2 −c^2 }=0 ⇒ k^3 +3(6c^2 −(1/c^2 ))k +27c^5 −18c+(2/c^3 )=0 D=(((27c^5 )/2)+9c+(1/c^3 ))^2 +(6c^2 −(1/c^2 ))^3 ...

$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{x}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\:\mathrm{cx}=\mathrm{kx}^{\mathrm{4}} +\mathrm{hx}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{kx}^{\mathrm{3}} +\mathrm{hx}=\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\mathrm{c}\left(\mathrm{kx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{h}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ch}}{\mathrm{1}−\mathrm{ck}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ch}}{\mathrm{1}−\mathrm{ck}}\right)\left\{\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{ck}}+\mathrm{h}\right\}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\right)\left(\mathrm{h}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{ck}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\right)\left(\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2hk}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{c}^{\mathrm{3}} \mathrm{k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} \mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3ck}\right) \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{5}} \mathrm{k}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}−\mathrm{3c}^{\mathrm{4}} \right)\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:+\left\{\mathrm{2h}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\right)+\mathrm{3c}^{\mathrm{3}} \right\}\mathrm{k} \\ $$$$\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\right)\mathrm{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\:\:\mathrm{h}=\mathrm{3c}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{5}} \mathrm{k}^{\mathrm{3}} +\left\{\mathrm{9c}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{c}}+\mathrm{2c}\left(\mathrm{3c}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}\mathrm{k} \\ $$$$\:\:\:\:+\left\{\mathrm{3c}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{3c}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{6c}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{k} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{27c}^{\mathrm{5}} −\mathrm{18c}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{c}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}=\left(\frac{\mathrm{27c}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{9c}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{3}} }\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{6c}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$... \\ $$

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