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Question Number 156648 by MathSh last updated on 13/Oct/21

Solve for integers: x^2 y^2 - x^2 - xy - y^2 + x + y = 0

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{integers}: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{xy}\:-\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Oct/21

x^2 y^2 - x^2 - xy - y^2 + x + y = 0 x^2 y^2 - x^2 - xy+x - y^2 + y = 0 x^2 (y^2 −1)−x(y−1)−y(y−1)=0 (y−1)( x^2 (y+1)−x−y )=0 y=1_(∀x) ∣ x^2 (y+1)−x−y =0 ∣ x^2 y+x^2 −x−y =0 ∣ x^2 y−y+x^2 −x =0 y(x^2 −1)+x(x−1)=0 y(x−1)(x+1)+x(x−1)=0 (x−1){ y(x+1)+x}=0 x=1_(∀y) ∣ xy+y+x=0 y(x+1)=−x y=−(x/(x+1)) (1)0 is divided by any integer⇒x=0 (2)±1 divide any integer ⇒ x+1=1⇒x=0 or x+1=−1⇒x=−2 •x=0⇒y=−(x/(x+1))=−(0/(0+1))=0 x=0,y=0 •x=−2⇒y=−((−2)/(−2+1))=−2 x=−2,y=−2 determinant ((((x,y)=(1,y),(x,1),(0,0),(−2,−2))))

$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{xy}\:-\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{xy}+\mathrm{x}\:-\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{x}\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)\left(\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{x}−\mathrm{y}\:\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{\forall\mathrm{x}} {\mathrm{y}=\mathrm{1}}\:\mid\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{x}−\mathrm{y}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{y}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}−\mathrm{y}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left\{\:\mathrm{y}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\underset{\forall\mathrm{y}} {\mathrm{x}=\mathrm{1}}\:\mid\:\mathrm{xy}+\mathrm{y}+\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=−\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\mathrm{any}\:\mathrm{integer}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{2}\right)\pm\mathrm{1}\:{divide}\:{any}\:{integer} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or}\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{2} \\ $$$$\:\bullet\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{y}=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}+\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{0},\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\bullet\mathrm{x}=−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}=−\frac{−\mathrm{2}}{−\mathrm{2}+\mathrm{1}}=−\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{2},\mathrm{y}=−\mathrm{2} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{y}\right),\left(\mathrm{x},\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right),\left(−\mathrm{2},−\mathrm{2}\right)}\\\hline\end{array} \\ $$

Commented by MathSh last updated on 14/Oct/21

Perfcet dear Ser, thank you

$$\mathrm{Perfcet}\:\mathrm{dear}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

Answered by TheSupreme last updated on 13/Oct/21

x^2 (y^2 −1)+x(1−y)+y(1−y)=0 (y−1)[x^2 (y+1)−x−y]= =(y−1)[y(x^2 −1)+x(x−1)]= =(y−1)(x−1)[y(x+1)+y+x]= =(y−1)(x−1)[xy+y+x+1]=0 (1,y) and (x,1) are all the solutios

$${x}^{\mathrm{2}} \left({y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+{x}\left(\mathrm{1}−{y}\right)+{y}\left(\mathrm{1}−{y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left[{x}^{\mathrm{2}} \left({y}+\mathrm{1}\right)−{x}−{y}\right]= \\ $$$$=\left({y}−\mathrm{1}\right)\left[{y}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\right]= \\ $$$$=\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)\left[{y}\left({x}+\mathrm{1}\right)+{y}+{x}\right]= \\ $$$$=\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)\left[{xy}+{y}+{x}+\mathrm{1}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1},{y}\right)\:{and}\:\left({x},\mathrm{1}\right)\:{are}\:{all}\:{the}\:{solutios} \\ $$

Commented by TheSupreme last updated on 13/Oct/21

and also (y−1)(x−1)(x+1)(y+1)

$$ \\ $$$${and}\:{also} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$

Answered by GuruBelakangPadang last updated on 13/Oct/21

(x^2 −1)(y^2 −1)=(x−1)(y−1) x=1,y=1⇒(x+1)(y+1)=1 k∈z⇒(x,y)={(1,z),(z,1),(0,0),(-2,-2)}

$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${x}=\mathrm{1},{y}=\mathrm{1}\Rightarrow\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${k}\in{z}\Rightarrow\left({x},{y}\right)=\left\{\left(\mathrm{1},{z}\right),\left({z},\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right),\left(-\mathrm{2},-\mathrm{2}\right)\right\} \\ $$

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