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Question Number 156691 by mathocean1 last updated on 14/Oct/21

Show that  (Σ_(k=1) ^n x_k y_k )^2 ≤(Σ_(k=1) ^n x_k ^2 )×(Σ_(k=1) ^n y_k ^2 )t

$${Show}\:{that} \\ $$$$\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} {y}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} \leqslant\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right)×\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{y}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right){t} \\ $$

Answered by puissant last updated on 14/Oct/21

P(λ)=Σ_(k=1) ^n (x_k +λy_k )^2   = Σ_(k=1) ^n (x_k ^2 +2λx_k y_k +λ^2 y_k ^2 )  ⇒ P(λ)=λ^2 Σ_(k=1) ^n y_k ^2 +2λΣ_(k=1) ^n x_k y_k +Σ_(k=1) ^n x_k ^2   P(λ)≥0 ⇒ Δ≤0..  Δ=4(Σ_(k=1) ^n x_k y_k )^2 − 4(Σ_(k=1) ^n x_k ^2 )(Σ_(k=1) ^n y_k ^2 )≤0  ⇒ (Σ_(k=1) ^n x_k y_k )^2 ≤ (Σ_(k=1) ^n x_k ^2 )(Σ_(k=1) ^n y_k ^2 )  (Inequality of Cauchy−Schwartz)...             .............Le puissant............

$${P}\left(\lambda\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({x}_{{k}} +\lambda{y}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({x}_{{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\lambda{x}_{{k}} {y}_{{k}} +\lambda^{\mathrm{2}} {y}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\:{P}\left(\lambda\right)=\lambda^{\mathrm{2}} \underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{y}_{{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\lambda\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} {y}_{{k}} +\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$${P}\left(\lambda\right)\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\Delta\leqslant\mathrm{0}.. \\ $$$$\Delta=\mathrm{4}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} {y}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right)\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{y}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right)\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} {y}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} \leqslant\:\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right)\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{y}_{{k}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\left({Inequality}\:{of}\:{Cauchy}−{Schwartz}\right)... \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:.............\mathscr{L}{e}\:{puissant}............ \\ $$

Commented by mathocean1 last updated on 22/Oct/21

thanks le puissant.

$${thanks}\:{le}\:{puissant}. \\ $$

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