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Question Number 15671 by tawa tawa last updated on 12/Jun/17

Prove by mathematcal induction that 1 + (1/(1 + 2)) + (1/(1 + 2 + 3)) + ... + (1/(1 + 2 + 3 + ... n)) = ((2n)/(n + 1))

$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{mathematcal}\:\mathrm{induction}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}}\:+\:...\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}\:+\:...\:\mathrm{n}}\:=\:\frac{\mathrm{2n}}{\mathrm{n}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$

Answered by icyfalcon999 last updated on 12/Jun/17

1)proving that the statement true when n=1 R.H.S.=((2(1))/(1+1))=(2/2)=1=L.H.S. 2)suppose that the statement is true when n=k ,k∈Nu 1 + (1/(1 + 2)) + (1/(1 + 2 + 3)) + ... + (1/(1 + 2 + 3 + ... k)) = ((2k)/(k + 1)) 3)proving that the statement true when n=k+1 1 + (1/(1 + 2)) + (1/(1 + 2 + 3)) + ... + (1/(1 + 2 + 3 + ... k))+(1/(1+2+3+...+k+1)) = ((2(k+1))/(k + 2)) L.H.S.=((2k)/(k+1))+(1/(1+2+3+...+k+1)) =((2k)/(k+1))+(1/(((k+1)(k+2))/2)) =((2k)/(k+1))+(2/((k+1)(k+2))) =((2k(k+2)+2)/((k+1)(k+2))) =((2k^2 +4k+2)/((k+1)(k+2))) =((2(k^2 +2k+1))/((k+1)(k+2))) =((2(k+1)^2 )/((k+1)(k+2))) =((2(k+1))/((k+2))) =R.H.S. from 1,2,3 the statment is true for all natural numbers

$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{proving}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{statement}\:\mathrm{true}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}=\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}. \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{statement}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}=\mathrm{k}\:,\mathrm{k}\in\mathbb{N}\mathrm{u} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}}\:+\:...\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}\:+\:...\:\mathrm{k}}\:=\:\frac{\mathrm{2k}}{\mathrm{k}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{proving}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{statement}\:\mathrm{true}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}=\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}}\:+\:...\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}\:+\:...\:\mathrm{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+...+\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{k}\:+\:\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.=\frac{\mathrm{2k}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+...+\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2k}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\frac{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2k}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4k}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}. \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}\:\mathrm{the}\:\mathrm{statment}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{natural}\:\mathrm{numbers} \\ $$

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