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Question Number 156744 by joki last updated on 15/Oct/21

y“+y′=e^x +3x

$$\mathrm{y}``+\mathrm{y}'=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3x} \\ $$$$ \\ $$

Answered by qaz last updated on 15/Oct/21

y_p =(1/(D^2 +D))(e^x +3x)  =(1/(D+1))(e^x +(3/2)x^2 )  =(1/2)e^x +(1−D+D^2 −...)(3/2)x^2   =(1/2)e^x +(3/2)x^2 −3x+3  ⇒y=C_1 +C_2 e^(−x) +(1/2)e^x +(3/2)x^2 −3x

$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{D}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{3x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\left(\mathrm{1}−\mathrm{D}+\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −...\right)\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x} \\ $$

Commented by puissant last updated on 15/Oct/21

what is the formula like that sir Qaz..?

$${what}\:{is}\:{the}\:{formula}\:{like}\:{that}\:{sir}\:{Qaz}..? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Oct/21

y^((2)) +y^′  =e^x  +3x   we put y^′  =z ⇒z^′  +z=e^x  +3x  (e)  h→z^′  +z=0 →(z^′ /z)=−1 ⇒ln∣z∣=−x +c ⇒z=ke^(−x)   let use mvc method   →z^′  =k^′  e^(−x) −ke^(−x)   (e)⇒k^′  e^(−x) −ke^(−x) +ke^(−x)  =e^x  +3x ⇒k^′  e^(−x)  =e^x  +3x ⇒  k^′  =e^(2x)  +3x e^x  ⇒k =∫(e^(2x)  +3xe^x )dx  =(1/2)e^(2x)  +3∫ xe^x  dx  we have   ∫ xe^(x ) dx=_(by parts)    xe^x −∫ e^x  dx=xe^x −e^x  ⇒  k =(1/2)e^(2x)  +(3x−3)e^x  +c  on z =ke^(−x)  ⇒  z =((1/2)e^(2x)  +(3x−3)e^x +c)e^(−x)  =(1/2)e^x  +3x−3 +ce^(−x)   y^′  =z ⇒y =∫ zdx =∫((1/2)e^x  +3x−3 +c e^(−x) )dx  =(1/2)e^x  +(3/2)x^2 −3x −ce^(−x)  +λ

$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} +\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3x}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{put}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{'} \:+\mathrm{z}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3x}\:\:\left(\mathrm{e}\right) \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:+\mathrm{z}=\mathrm{0}\:\rightarrow\frac{\mathrm{z}^{'} }{\mathrm{z}}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}\mid=−\mathrm{x}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{ke}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{use}\:\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\:\:\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{ke}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{ke}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{ke}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3x}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3x}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{3x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow\mathrm{k}\:=\int\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{3xe}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{3}\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}\:} \mathrm{dx}=_{\mathrm{by}\:\mathrm{parts}} \:\:\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\left(\mathrm{3x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\:\mathrm{on}\:\mathrm{z}\:=\mathrm{ke}^{−\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:+\left(\mathrm{3x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{c}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{3}\:+\mathrm{ce}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\int\:\mathrm{zdx}\:=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{3}\:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\:−\mathrm{ce}^{−\mathrm{x}} \:+\lambda \\ $$

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