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Question Number 15773 by Mahmoud A.R last updated on 13/Jun/17

lim_(h→0) ((sin^3 (2x − 2h) − sin^3 (2x) )/(3h))

$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}{x}\:−\:\:\mathrm{2}{h}\right)\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}{x}\right)\:}{\mathrm{3}{h}} \\ $$

Answered by prakash jain last updated on 14/Jun/17

((sin^3 (2x − 2h) − sin^3 (2x) )/(3h)) a^3 −b^3 =(a^2 −ab+b^2 )(a−b) =(((sin (2x−2h)−sin 2x)(sin^2 2x+sin2xsin (2x−2h)+sin^2 (2x−2h)))/(3h)) −−− sin A−sin B=2sin ((A−B)/2)cos ((A+B)/2) sin (2x−2h)−sin 2x=2sin (−h)cos (2x+h) (((sin (2x−2h)−sin 2x)(sin^2 2x+sin2xsin (2x−2h)+sin^2 (2x−2h)))/(3h)) =((−2sin hcos (2x+h)(sin^2 2x+sin2xsin (2x−2h)+sin^2 (2x−2h)))/(3h)) lim_(h→0) ((−2sin hcos (2x+h)(sin^2 2x+sin2xsin (2x−2h)+sin^2 (2x−2h)))/(3h)) lim_(h→0) ((sin h)/h)lim_(h→0) ((−2cos (2x+h)(sin^2 2x+sin2xsin (2x−2h)+sin^2 (2x−2h)))/(3h)) =1∙(−2cos 2x.3sin^2 2x)(1/3) =−2sin^2 2xcos 2x

$$\:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}{x}\:−\:\:\mathrm{2}{h}\right)\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}{x}\right)\:}{\mathrm{3}{h}} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\left({a}^{\mathrm{2}} −{ab}+{b}^{\mathrm{2}} \right)\left({a}−{b}\right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin2}{x}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)\right)}{\mathrm{3}{h}} \\ $$$$−−− \\ $$$$\mathrm{sin}\:{A}−\mathrm{sin}\:{B}=\mathrm{2sin}\:\frac{{A}−{B}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\frac{{A}+{B}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{2sin}\:\left(−{h}\right)\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}+{h}\right) \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin2}{x}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)\right)}{\mathrm{3}{h}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2sin}\:{h}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}+{h}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin2}{x}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)\right)}{\mathrm{3}{h}} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{2sin}\:{h}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}+{h}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin2}{x}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)\right)}{\mathrm{3}{h}} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:{h}}{{h}}\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{2cos}\:\left(\mathrm{2}{x}+{h}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin2}{x}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{h}\right)\right)}{\mathrm{3}{h}} \\ $$$$=\mathrm{1}\centerdot\left(−\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}.\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$=−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x} \\ $$

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