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Question Number 157902 by HongKing last updated on 29/Oct/21

Solve for integers: x∙(x + 4) = 5∙(3^y - 1)

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{integers}: \\ $$$$\mathrm{x}\centerdot\left(\mathrm{x}\:+\:\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{5}\centerdot\left(\mathrm{3}^{\boldsymbol{\mathrm{y}}} \:-\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 01/Nov/21

3^y =((x∙(x + 4))/5)+1=((x(x+4)+5)/5) 3^y =((x(x+4)+5)/5) x=3m: 3^y =((3m(3m+4)+5)/5)=((9m^2 +12m+5)/5) m=0: 3^y =1=3^0 ⇒y=0⇒x=3m=0 ⋮ x=3m+1: 3^y =((x(x+4)+5)/5)=(((3m+1)(3m+5)+5)/5) =((9m^2 +18m+5)/5)⇒5∣m =(((3m+5)(3m+1))/5) ⋮ x=3m+2 ⋮

$$\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{x}\centerdot\left(\mathrm{x}\:+\:\mathrm{4}\right)}{\mathrm{5}}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right)+\mathrm{5}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right)+\mathrm{5}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3m}: \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{3m}\left(\mathrm{3m}+\mathrm{4}\right)+\mathrm{5}}{\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{9m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12m}+\mathrm{5}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{0}:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\mathrm{1}=\mathrm{3}^{\mathrm{0}} \Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{3m}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\vdots \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3m}+\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right)+\mathrm{5}}{\mathrm{5}}=\frac{\left(\mathrm{3m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3m}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{5}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{9m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18m}+\mathrm{5}}{\mathrm{5}}\Rightarrow\mathrm{5}\mid\mathrm{m} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\left(\mathrm{3m}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{3m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\vdots \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3m}+\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\vdots \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 29/Oct/21

x∙(x + 4) = 5∙(3^y - 1).........A ⇒ 5∣x ∨ 5∣(x+4) 5∣x: Let x=5m ; m∈Z A⇒5m(5m+4)=5(3^y −1) ⇒m(5m+4)=3^y −1 ⇒5m^2 +4m+1−3^y =0 m=((−4±(√(16−20(1−3^y ))))/(10)) 20.3^y −4 is perfect square m=((−4±(√(20.3^y −4)))/(10))⇒y=0 m=0,−(4/5) x=5m=0,−4 x=0,y=0 x=−4,y=0 5∣(x+4): Let x+4=5m x=5m−4 (5m−4)(5m−4+4)=5(3^y −1) 5m^2 −4m=3^y −1 5m^2 −4m+1−3^y =0 m=((4±(√(16−20(1−3^y ))))/(10)) m=((4±(√(20.3^y −4)))/(10))⇒y=0 =((4±4)/(10))=(4/5),0 x+4=5m m=0⇒x=−4 m=(4/5)⇒x=5m−4=0 (−4,0),(0,0)

$$\mathrm{x}\centerdot\left(\mathrm{x}\:+\:\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{5}\centerdot\left(\mathrm{3}^{\boldsymbol{\mathrm{y}}} \:-\:\mathrm{1}\right).........\mathrm{A} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{5}\mid\mathrm{x}\:\vee\:\mathrm{5}\mid\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{5}\mid\mathrm{x}:\:{Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{5m}\:\:;\:\mathrm{m}\in\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{A}\Rightarrow\mathrm{5m}\left(\mathrm{5m}+\mathrm{4}\right)=\mathrm{5}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{m}\left(\mathrm{5m}+\mathrm{4}\right)=\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\Rightarrow\mathrm{5m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4m}+\mathrm{1}−\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{m}=\frac{−\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{20}\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}^{\mathrm{y}} \right)}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{20}.\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{4}\:\mathrm{is}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{m}=\frac{−\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{20}.\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{4}}}{\mathrm{10}}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{m}=\mathrm{0},−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{5m}=\mathrm{0},−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0},\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{4},\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{5}\mid\left(\mathrm{x}+\mathrm{4}\right):\:\mathrm{Let}\:\mathrm{x}+\mathrm{4}=\mathrm{5m} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5m}−\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{5m}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{5m}−\mathrm{4}+\mathrm{4}\right)=\mathrm{5}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{5m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4m}=\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{5m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4m}+\mathrm{1}−\mathrm{3}^{\mathrm{y}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{m}=\frac{\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{20}\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}^{\mathrm{y}} \right)}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{m}=\frac{\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{20}.\mathrm{3}^{\mathrm{y}} −\mathrm{4}}}{\mathrm{10}}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{4}\pm\mathrm{4}}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}},\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{4}=\mathrm{5m} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{m}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5m}−\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(−\mathrm{4},\mathrm{0}\right),\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$

Commented by HongKing last updated on 29/Oct/21

alot thankyou sir cool

$$\mathrm{alot}\:\mathrm{thankyou}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{cool} \\ $$

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