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Question Number 157908 by HongKing last updated on 29/Oct/21

(a_n ) in numerical series 7+9+11+13+...+(2n+1)=an^2 +bn+c find a+b+c=?

$$\left(\mathrm{a}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{numerical}\:\mathrm{series} \\ $$$$\mathrm{7}+\mathrm{9}+\mathrm{11}+\mathrm{13}+...+\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{an}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bn}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{find}\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}+\boldsymbol{\mathrm{b}}+\boldsymbol{\mathrm{c}}=? \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 29/Oct/21

n starts from 3 for n=3: 7=a(3)^2 +b(3)+c 9a+3b+c=7..................(i) for n=4: 7+9=a(4)^2 +b(4)+c 16a+4b+c=16.................(ii) (ii)−(i): 7a+b=9..............(iii) for n=5 7+9+11=a(5)^2 +5b+c 25a+5b+c=27.................(iv) (iv)−(ii): 9a+b=11..........(v) (v)−(iii):2a=2⇒a=1 (iii)⇒b=9−7a=9−7(1)=2 (i):9a+3b+c=7⇒9(1)+3(2)+c=7 ⇒c=7−15=−8 a=1,b=2,c=−8 a+b+c=−5

$$\mathrm{n}\:\mathrm{starts}\:\mathrm{from}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{3}:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{7}=\mathrm{a}\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{9a}+\mathrm{3b}+\mathrm{c}=\mathrm{7}..................\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{4}: \\ $$$$\mathrm{7}+\mathrm{9}=\mathrm{a}\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{16a}+\mathrm{4b}+\mathrm{c}=\mathrm{16}.................\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)−\left(\mathrm{i}\right):\:\:\:\mathrm{7a}+\mathrm{b}=\mathrm{9}..............\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{7}+\mathrm{9}+\mathrm{11}=\mathrm{a}\left(\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5b}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{25a}+\mathrm{5b}+\mathrm{c}=\mathrm{27}.................\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iv}\right)−\left(\mathrm{ii}\right):\:\mathrm{9a}+\mathrm{b}=\mathrm{11}..........\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{v}\right)−\left(\mathrm{iii}\right):\mathrm{2a}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{9}−\mathrm{7a}=\mathrm{9}−\mathrm{7}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right):\mathrm{9a}+\mathrm{3b}+\mathrm{c}=\mathrm{7}\Rightarrow\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{7}−\mathrm{15}=−\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1},\mathrm{b}=\mathrm{2},\mathrm{c}=−\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=−\mathrm{5} \\ $$

Commented by HongKing last updated on 29/Oct/21

alot thank you so much sir

$$\mathrm{alot}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{sir} \\ $$

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