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Question Number 158272 by HongKing last updated on 01/Nov/21

Answered by qaz last updated on 04/Nov/21

Ω=4∫_0 ^∞ ((x^2 lnx)/(x^4 −x^2 +1))dx =4∫_0 ^1 ((x^2 lnx)/(x^4 −x^2 +1))dx+4∫_1 ^∞ ((x^2 lnx)/(x^4 −x^2 +1))dx =4∫_0 ^1 ((x^2 −1)/(x^4 −x^2 +1))lnxdx =4∫_0 ^1 ((lnx)/((x+(1/x))^2 −3))d(x+(1/x)) =(2/( (√3)))ln((x+(1/x)−(√3))/(x+(1/x)+(√3)))∙lnx∣_0 ^1 −(2/( (√3)))∫_0 ^1 ln((x+(1/x)−(√3))/(x+(1/x)+(√3))) (dx/x) =−(2/( (√3)))∫_0 ^1 (((ln(x^2 −(√3)x+1))/x)−((ln(x^2 +(√3)x+1))/x))dx I(a)=∫_0 ^1 ((ln(x^2 +ax+1))/x)dx =∫_0 ^a dy∫_0 ^1 (dx/(x^2 +yx+1))+∫_0 ^1 ((ln(x^2 +1))/x)dx =∫_0 ^a (2/( (√(4−y^2 ))))arctan (√((2−y)/(2+y)))dy+Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)∫_0 ^1 x^(2n−1) dx =(π/2)arcsin (a/2)−(1/2)arcsin^2 (a/2)+(π^2 /(24)) Ω=−(2/( (√3)))(I(−(√3))−I((√3)))=((2π^2 )/(3(√3)))

$$\Omega=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{lnx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{lnx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\mathrm{4}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{lnx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{lnxdx} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}\mathrm{d}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{ln}\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{3}}}\centerdot\mathrm{lnx}\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{dy}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{yx}+\mathrm{1}}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{arctan}\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}−\mathrm{y}}{\mathrm{2}+\mathrm{y}}}\mathrm{dy}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arcsin}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\ $$$$\Omega=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{I}\left(−\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{I}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right)=\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

Commented by HongKing last updated on 09/Nov/21

cool my dear Ser thank you so much

$$\mathrm{cool}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Ser}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much} \\ $$

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