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Question Number 15916 by tawa tawa last updated on 15/Jun/17

Commented by tawa tawa last updated on 15/Jun/17

6a and b

$$\mathrm{6a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b} \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 15/Jun/17

please help.

$$\mathrm{please}\:\mathrm{help}. \\ $$

Answered by RasheedSoomro last updated on 16/Jun/17

6(b) f(x)=((x+1)/((2x−1)(2x+1)(2x+3))) show that 16f(x)=(3/(2x−1))−(2/(2x+1))−(1/(2x+3)) Hence or otherwise show tbat the sum of the first n terms of the series (2/(1×3×5))+(3/(3×5×7))+(4/(5×7×9))+.... is (5/(24))−((4n+5)/(8(2n+1)(2n+3))) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A TRY... Let ((x+1)/((2x−1)(2x+1)(2x+3)))=(A/(2x−1))+(B/(2x+1))+(C/(2x+3)) A(2x+1)(2x+3)+B(2x−1)(2x+3)+C(2x−1)(2x+1) =x+1 ^• Let 2x−1=0⇒x=1/2: A( 2((1/2))+1 )( 2((1/2))+3 )=(1/2)+1 8A=(3/2)⇒A=(3/(16)) ^• Let 2x+1=0⇒x=−1/2 B( 2(−(1/2))−1 )( 2(−(1/2))+3 )=−(1/2)+1 −4B=(1/2)⇒B=−(1/8) ^• Let x=2x+3=0⇒x=−3/2 C( 2(−(3/2))−1 )( 2(−(3/2))+1 )=−(3/2)+1 8C=−(1/2)⇒C=−(1/(16)) Hence ((x+1)/((2x−1)(2x+1)(2x+3)))=(3/(16(2x−1)))−(1/(8(2x+1)))−(1/(16(2x+3))) 16 f(x)=(3/(2x−1))−(2/(2x+1))−(1/(2x+3)) Now, Σ_(x=1) ^(n) f(x)=Σ_(x=1) ^(n) (((x+1)/((2x−1)(2x+1)(2x+3)))) = (2/(1×3×5))+(3/(3×5×7))+(4/(5×7×9))+.... =Σ_(x=1) ^(n) ((3/(16(2x−1)))−(1/(8(2x+1)))−(1/(16(2x+3)))) =(3/(16 ))Σ_(x=1) ^(n) ((1/( 2x−1)))−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1 1) ^(n) ((1/(2x+3))) Can′t continue further. I′m sorry!

$$\mathrm{6}\left(\mathrm{b}\right)\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{16f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{or}\:\mathrm{otherwise}\:\mathrm{show}\:\mathrm{tbat}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first} \\ $$$$\mathrm{n}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}×\mathrm{5}×\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}×\mathrm{7}×\mathrm{9}}+.... \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{is} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{4n}+\mathrm{5}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{TRY}... \\ $$$$\mathrm{Let}\:\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{B}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Let}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}/\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{A}\left(\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}\:\right)\left(\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}\:\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{8A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Let}\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{B}\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}\:\right)\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}\:\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{4B}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{B}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{2x}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{3}/\mathrm{2} \\ $$$$\:\mathrm{C}\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}\:\right)\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}\:\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{8C}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{C}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{Hence}\: \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{16}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Now}, \\ $$$$\:\:\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}×\mathrm{5}×\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}×\mathrm{7}×\mathrm{9}}+.... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Can}'\mathrm{t}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{further}.\:\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{sorry}! \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 15/Jun/17

Am with you sir. thanks for your help.

$$\mathrm{Am}\:\mathrm{with}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{thanks}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{help}. \\ $$

Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17

I′ll try to continue: =(3/(16 ))Σ_(x=1) ^(n) ((1/( 2x−1)))−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1) ^(n) ((1/(2x+3))) =(2/(16 ))Σ_(x=1) ^(n) ((1/( 2x−1)))+(1/(16 ))Σ_(x=1) ^n ((1/( 2x−1)))−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1) ^(n) ((1/(2x+3))) =(1/(8 ))Σ_(x=1) ^(n) ((1/( 2x−1)))+(1/(16 ))Σ_(x=1) ^n ((1/( 2x−1)))−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1) ^(n) ((1/(2x+3))) =(1/(8 ))Σ_(t=0) ^(n−1) ((1/( 2t+1)))+(1/(16 ))Σ_(t=−1) ^(n−2) ((1/( 2t+3)))−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1) ^(n) ((1/(2x+3))) =(1/(8 ))Σ_(t=1) ^(n) ((1/( 2t+1)))+(1/8)[(1/(2×0+1))−(1/(2n+1))]+(1/(16 ))Σ_(t=1) ^n ((1/( 2t+3)))+(1/(16))[(1/(2(−1)+3))+(1/(2(0)+3))−(1/(2(n−1)+3))−(1/(2(n)+3))]−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1) ^(n) ((1/(2x+3))) =(1/(8 ))Σ_(x=1) ^(n) ((1/( 2x+1)))+(1/8)[(1/(2×0+1))−(1/(2n+1))]+(1/(16 ))Σ_(x=1) ^n ((1/( 2x+3)))+(1/(16))[(1/(2(−1)+3))+(1/(2(0)+3))−(1/(2(n−1)+3))−(1/(2(n)+3))]−(1/8)Σ_( x=1 ) ^(n) ((1/(2x+1)))−(1/(16))Σ_( x=1) ^(n) ((1/(2x+3))) =(1/8)[(1/(2×0+1))−(1/(2n+1))]+(1/(16))[(1/(2(−1)+3))+(1/(2(0)+3))−(1/(2(n−1)+3))−(1/(2(n)+3))] =(1/8)[1−(1/(2n+1))]+(1/(16))[1+(1/3)−(1/(2n+1))−(1/(2n+3))] =(1/8)+(2/(8×3))−(1/(16))[(2/(2n+1))+(1/(2n+1))+(1/(2n+3))] =(5/(24))−(1/(16))[(3/(2n+1))+(1/(2n+3))] =(5/(24))−((4n+5)/(8(2n+1)(2n+3)))

$$\mathrm{I}'\mathrm{ll}\:\mathrm{try}\:\mathrm{to}\:\mathrm{continue}: \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{t}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{t}=−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{2}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{t}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{0}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{t}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{3}}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{0}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{3}}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{0}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{8}×\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{4n}+\mathrm{5}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17

I really appreciate your time. God bless you sir. Rasheed

$$\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{Rasheed} \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17

Wow sir MrW1 , i really appreciate sir. God bless you sir.

$$\mathrm{Wow}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{MrW1}\:,\:\mathrm{i}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17

Sir what of the 6a and the deduce that sum to infinity is (5/(24))

$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{what}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{6a}\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{deduce}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{to}\:\mathrm{infinity}\:\mathrm{is}\:\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}} \\ $$

Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17

sorry, I don′t understand what is meant in question 6a.

$$\mathrm{sorry},\:\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{meant} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{question}\:\mathrm{6a}. \\ $$

Commented by RasheedSoomro last updated on 16/Jun/17

^• Have learnt something from you mrW1. Thank you Sir. ^• Miss tawa, your question became means to increase my knowledge. Thank you for this.

$$\:^{\bullet} \mathrm{Have}\:\mathrm{learnt}\:\mathrm{something}\:\mathrm{from}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mrW1}.\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Sir}. \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Miss}\:\mathrm{tawa},\:\mathrm{your}\:\mathrm{question}\:\mathrm{became}\:\mathrm{means}\:\mathrm{to}\:\mathrm{increase}\:\mathrm{my}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{knowledge}.\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}. \\ $$$$ \\ $$

Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17

Mr. Rasheed, you are welcome Sir!

$$\mathrm{Mr}.\:\mathrm{Rasheed},\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

Answered by tawa tawa last updated on 15/Jun/17

Please help.

$$\mathrm{Please}\:\mathrm{help}. \\ $$

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