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Question Number 159229 by tounghoungko last updated on 14/Nov/21

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x(\sqrt{x^2+2x}+x-2\sqrt{x^2+x})=?$$

Answered by FongXD last updated on 14/Nov/21

$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim x}(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}-\mathrm{x}+2\mathrm{x}-2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}})$$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim x}[\frac{({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x})-{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\mathrm{x}}+\frac{{4\mathrm{x}}^2-4({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x})}{2\mathrm{x}+2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}}]$$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim x}(\frac{2\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\mathrm{x}}-\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}})$$$$\mathrm{L}={\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim 2x}}^2\left[\frac{(\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}})-(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\mathrm{x})}{(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\mathrm{x})(\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}})}\right]$$$$\mathrm{L}={\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim 2x}}^2\left[\frac{({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x})-({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x})}{(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\mathrm{x})(\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}})(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}})}\right]$$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-{2\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3(\sqrt{1+{2\mathrm{x}}^{-1}}+1)(1+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^{-1}})(\sqrt{1+{\mathrm{x}}^{-1}}+\sqrt{1+{2\mathrm{x}}^{-1}})}$$$$\mathrm{L}=\frac{-2}{(\sqrt{1+0}+1)(1+\sqrt{1+0})(\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})}=-\frac{1}{4}$$

Answered by qaz last updated on 15/Nov/21

$$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim x}(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\mathrm{x}-2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}})$$$$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}(\sqrt{1+2\mathrm{x}}+1-2\sqrt{1+\mathrm{x}})$$$$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}(\sqrt{{(\sqrt{1+2\mathrm{x}}+1)}^2}-\sqrt{4+4\mathrm{x}})$$$$=\underset{\mathrm{x}\to 0,\xi \to 4}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\xi }}({(\sqrt{1+2\mathrm{x}}+1)}^2-(4+4\mathrm{x}))$$$$=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2\mathrm{x}}-\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2}$$$$=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{x}\to 0,\zeta \to 1}{\lim }\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\zeta }}(1+2\mathrm{x}-{(\mathrm{x}+1)}^2)$$$$=-\frac{1}{4}$$

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