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Question Number 159727 by blackmamba last updated on 20/Nov/21

$$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[x^3]{1+\tan (1-\left(\frac{x}{\sin x}\right))}?$$

Answered by FongXD last updated on 20/Nov/21

$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{[1+\tan (1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}})]}^{\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}}$$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\left\{{[1+\tan (1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}})]}^{\frac{1}{\tan (1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}})}}\right\}}^{\frac{\tan (1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}})}{{\mathrm{x}}^3}}$$$$\mathrm{L}={\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim e}}^{\frac{\tan (1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}})}{{\mathrm{x}}^3}}={\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\tan (1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}})}{1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}}\times \frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3\mathrm{sinx}}}$$$$\mathrm{L}={\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}\times \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\mathrm{sinx}}}$$$$\mathrm{where}\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin 3\mathrm{x}-3\mathrm{x}}{{27\mathrm{x}}^3}\left(\mathrm{change}\mathrm{x}\mathrm{to}3\mathrm{x}\right)$$$$\iff 27\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{3\mathrm{sinx}-{4\sin }^3\mathrm{x}-3\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}=3\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}-4\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\right)}^3$$$$\iff 27\mathrm{M}=3\mathrm{M}-4,\Rightarrow \mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}=-\frac{1}{6}$$$$\mathrm{then}\mathrm{L}={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{6}\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\mathrm{sinx}}}=0$$

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