Question Number 15975 by myintkhaing last updated on 16/Jun/17
$${Solve}\:{sin}\:\mathrm{2}{x}\:+\:{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\mathrm{0}, \\ $$ $${for}\:−\pi<{x}<\pi. \\ $$
Commented bytawa tawa last updated on 16/Jun/17
![sin2x + cos2x = 0 Note: sin2x = 2sinxcosx and cos2x = cos^2 x − sin^2 x 2sinxcosx + cos^2 x − sin^2 x = 0 cos^2 x = 1 − sin^2 x 2sinxcosx + 1 − sin^2 x − sin^2 x = 0 2sinxcosx + 1 − 2sin^2 x = 0 ∴ 2sin^2 x − 2sinxcosx − 1 = 0 ∴ 2sin^2 x − 2sinx(√(cos^2 x)) − 1 = 0 ∴ 2sin^2 x − 2sinx(√(1 − sin^2 x)) − 1 = 0 sinx = p ∴ 2p^2 − 2p(√(1 − p^2 )) − 1 = 0 ∴ 2p^2 − 1 = 2p(√(1 − p^2 )) Square both sides ∴ (2p^2 − 1)^2 = [2p(√(1 − p^2 ))]^2 ∴ (2p^2 − 1)(2p^2 − 1) = 4p^2 (1 − p^2 ) ∴ 4p^4 − 2p^2 − 2p^2 + 1 = 4p^2 − 4p^4 ∴ 4p^4 − 2p^2 − 2p^2 + 1 + 4p^4 − 4p^2 = 0 ∴ 8p^4 − 8p^2 + 1 = 0 ∴ 8(p^2 )^2 − 8p^2 + 1 = 0 a = 8, b = − 8, c = 1 p^2 = ((− b ± (√(b^2 − 4ac)))/(2a)) p^2 = ((− (−8) ± (√((−8)^2 − 4(8)(1))))/(2(8))) p^2 = ((8 ± (√(64 − 32)))/(16)) p^2 = ((8 ± (√(32)))/(16)) p^2 = 0.8536 or p^2 = 0.1465 p = ± (√(0.8536)) or p = ± (√(0.1465)) p = ± 0.9239 or p = ± 0.3828 sinx = ± 0.9239 or sinx = ± 0.3828 ∴ x = sin^(−1) (0.9239) or x = sin^(−1) (−0.9239) or x = sin^(−1) (0.3828) or x = sin^(−1) (−0.3828) ∴ x = 67.5 or x = − 67.5 or x = 22.5 or x = − 22.5 To find other angle in the range given. use: x = 180n° + (−1)^n sin^(−1) (α), where α = ± 67.5 or α = ± 22.5 and n = 0, 1, 2 ... Cancel anyone that is out of range.](Q15979.png)
$$\mathrm{sin2x}\:+\:\mathrm{cos2x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{Note}:\:\mathrm{sin2x}\:=\:\mathrm{2sinxcosx}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{cos2x}\:=\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$ $$\mathrm{2sinxcosx}\:+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$ $$\mathrm{2sinxcosx}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{2sinxcosx}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\therefore\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{2sinxcosx}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\therefore\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{2sinx}\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\therefore\:\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\:\mathrm{2sinx}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{sinx}\:=\:\mathrm{p} \\ $$ $$\therefore\:\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2p}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\therefore\:\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\:=\:\:\mathrm{2p}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$ $$\mathrm{Square}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides} \\ $$ $$\therefore\:\:\left(\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left[\mathrm{2p}\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right]^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\therefore\:\:\left(\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{4p}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\:−\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$ $$\therefore\:\:\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{4p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \\ $$ $$\therefore\:\:\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{4p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{4p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\therefore\:\:\:\mathrm{8p}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{8p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\therefore\:\:\:\mathrm{8}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{8p}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{a}\:=\:\mathrm{8},\:\mathrm{b}\:=\:−\:\mathrm{8},\:\mathrm{c}\:=\:\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{−\:\mathrm{b}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}} \\ $$ $$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{−\:\left(−\mathrm{8}\right)\:\pm\:\sqrt{\left(−\mathrm{8}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4}\left(\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{8}\right)} \\ $$ $$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{8}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{64}\:−\:\mathrm{32}}}{\mathrm{16}} \\ $$ $$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{8}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{32}}}{\mathrm{16}} \\ $$ $$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0}.\mathrm{8536}\:\mathrm{or}\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0}.\mathrm{1465} \\ $$ $$\mathrm{p}\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{0}.\mathrm{8536}}\:\mathrm{or}\:\mathrm{p}\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{0}.\mathrm{1465}} \\ $$ $$\mathrm{p}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{9239}\:\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{p}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{3828} \\ $$ $$\mathrm{sinx}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{9239}\:\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{sinx}\:=\:\pm\:\mathrm{0}.\mathrm{3828} \\ $$ $$\therefore\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}.\mathrm{9239}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{0}.\mathrm{9239}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}.\mathrm{3828}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{0}.\mathrm{3828}\right) \\ $$ $$\therefore\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{67}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:−\:\mathrm{67}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{22}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:=\:−\:\mathrm{22}.\mathrm{5} \\ $$ $$\mathrm{To}\:\mathrm{find}\:\mathrm{other}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{range}\:\mathrm{given}. \\ $$ $$\mathrm{use}:\:\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{180n}°\:+\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\alpha\right),\:\:\:\:\:\:\mathrm{where}\:\:\alpha\:=\:\pm\:\mathrm{67}.\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\alpha\:=\:\pm\:\mathrm{22}.\mathrm{5} \\ $$ $$\mathrm{and}\:\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\mathrm{2}\:...\:\:\mathrm{Cancel}\:\mathrm{anyone}\:\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{out}\:\mathrm{of}\:\mathrm{range}. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{2x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}=\mathrm{k}\pi,\mathrm{k}\in\mathbb{Z} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{k}\pi−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$ $$\mathrm{within}\:\left(−\pi,\pi\right): \\ $$ $$\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{8}},−\frac{\pi}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}},\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{8}} \\ $$
Commented bymyintkhaing last updated on 16/Jun/17
$${in}\:\mathrm{2}^{{nd}} \:{line},\:{not}\:{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\: \\ $$
Commented bymrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{my}\:\mathrm{typo},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented bymyintkhaing last updated on 16/Jun/17
$${sin}\:{cos}\:+{cos}\:{sin} \\ $$