Question Number 160244 by cortano last updated on 26/Nov/21
$$\:\:\:\:\:{L}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{i}m}\:\left(\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−\mathrm{tan}\:\left({x}\right)}{\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−\mathrm{sin}\:\left({x}\right)}\right)=? \\ $$
Answered by FongXD last updated on 26/Nov/21
![L=lim_(x→0) (((tan^(−1) x−tanx)/x^3 )/((sin^(−1) x−sinx)/x^3 ))=(M/N) where N=lim_(x→0) ((sin^(−1) x−sinx)/x^3 )=lim_(x→0) ((x−sinx)/x^3 )+lim_(x→0) ((sin^(−1) x−x)/x^3 ) let x=sint, ⇒ t=sin^(−1) x if x→0, ⇒ t→0 N=lim_(x→0) ((x−sinx)/x^3 )+lim_(t→0) ((t−sint)/(sin^3 t)) N=lim_(x→0) ((x−sinx)/x^3 )+lim_(t→0) ((t−sint)/t^3 )×(t^3 /(sin^3 t))=2lim_(x→0) ((x−sinx)/x^3 ) N=2lim_(x→0) ((3x−sin3x)/(27x^3 )) (change x to 3x) N=2lim_(x→0) ((3x−3sinx+4sin^3 x)/(27x^3 ))=(1/9)(2lim_(x→0) ((x−sinx)/x^3 ))+(8/(27))lim_(x→0) ((sin^3 x)/x^3 ) N=(1/9)N+(8/(27)), ⇒ N=(1/3) and M=lim_(x→0) ((tan^(−1) x−tanx)/x^3 )=lim_(x→0) ((x−tanx)/x^3 )+lim_(x→0) ((tan^(−1) x−x)/x^3 ) let u=tan^(−1) x, ⇒ x=tanu if x→0, ⇒ u→0 M=lim_(x→0) ((x−tanx)/x^3 )+lim_(x→0) ((u−tanu)/(tan^3 u)) M=lim_(x→0) ((x−tanx)/x^3 )+lim_(u→0) ((u−tanu)/u^3 )×(u^3 /(tan^3 u))=2lim_(x→0) ((x−tanx)/x^3 ) M=2lim_(x→0) ((xcosx−sinx)/(x^3 cosx))=2lim_(x→0) [((x−sinx)/x^3 )−(x/x)(((1−cosx)/x^2 ))]×lim_(x→0) (1/(cosx)) M=2lim_(x→0) ((x−sinx)/x^3 )−2×(1/2)=N−1=(1/3)−1=−(2/3) ⇒ L=(M/N)=−(2/3)×3=−2](Q160251.png)
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{tanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}{\frac{\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}=\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{N}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{sint},\:\Rightarrow\:\mathrm{t}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0},\:\Rightarrow\:\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{N}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{t}−\mathrm{sint}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{N}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{t}−\mathrm{sint}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }×\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{N}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{sin3x}}{\mathrm{27x}^{\mathrm{3}} }\:\:\:\left(\mathrm{change}\:\mathrm{x}\:\mathrm{to}\:\mathrm{3x}\right) \\ $$$$\mathrm{N}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{3sinx}+\mathrm{4sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{27x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\right)+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{N}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\mathrm{N}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}},\:\Rightarrow\:\mathrm{N}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{tanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{tanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x},\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=\mathrm{tanu} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0},\:\Rightarrow\:\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{tanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{u}−\mathrm{tanu}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{u}} \\ $$$$\mathrm{M}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{tanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{u}−\mathrm{tanu}}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} }×\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{u}}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{tanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{M}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{xcosx}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{cosx}}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left[\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\right]×\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}} \\ $$$$\mathrm{M}=\mathrm{2}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{N}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{L}=\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}×\mathrm{3}=−\mathrm{2} \\ $$