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Question Number 160291 by cortano last updated on 27/Nov/21

Ω = ∫ ((x^2 −3x+7)/((x^2 −4x+6)^2 )) dx =?

$$\:\:\:\Omega\:=\:\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{7}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=? \\ $$

Answered by 2970604Lu last updated on 27/Nov/21

$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by cortano last updated on 27/Nov/21

very great..amazing

$$\mathrm{very}\:\mathrm{great}..\mathrm{amazing} \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 27/Nov/21

∫((x^2 −3x+7)/((x^2 −4x+6)^2 ))dx= [Ostrogradski′s Method] =((3x−8)/(4(x^2 −4x+6)))+(7/4)∫(dx/(x^2 −4x+6))= [t=((√2)/2)(x−2) → dx=(√2)dt] =((3x−8)/(4(x^2 −4x+6)))+((7(√2))/8)∫(dt/(t^2 +1))= ... =((3x−8)/(4(x^2 −4x+6)))+((7(√2))/8)arctan (((√2)(x−2))/2) +C

$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{7}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{8}}{\mathrm{4}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}\right)}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left({x}−\mathrm{2}\right)\:\rightarrow\:{dx}=\sqrt{\mathrm{2}}{dt}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{8}}{\mathrm{4}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}\right)}+\frac{\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$... \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{8}}{\mathrm{4}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}\right)}+\frac{\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left({x}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\:+{C} \\ $$

Commented by cortano last updated on 27/Nov/21

thank you

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Nov/21

f(a)=∫ ((x^2 −3x+7)/(x^2 −4x+a))dx with a>4 ⇒f^′ (a)=−∫ ((x^2 −3x+7)/((x^2 −4x+a)^2 ))dx ⇒ ∫ ((x^2 −3x+7)/((x^2 −4x+6)^2 ))dx=−f^′ (6) f(a)=∫ ((x^2 −4x+a+x−a+7)/(x^2 −4x+a))dx=x+∫ ((x−a+7)/(x^2 −4x+a))dx x^2 −4x+a→Δ^(′ ) =4−a<0 ⇒ ∫ ((x−a+7)/(x^2 −4x+a))dx=(1/2)∫ ((2x−2a+14−4+4)/(x^2 −4x+a))dx =(1/2)∫ ((2x−4)/(x^2 −4x+a))dx +9∫ (dx/(x^2 −4x+4 +a−4)) =(1/2)ln(x^2 −4x+a)+9∫ (dx/((x−2)^2 +a−4)) and ∫ (dx/((x−2)^2 +a−4))=_(x−2=(√(a−4))u) ∫ (((√(a−4))du)/((a−4)(1+u^2 ))) =(1/( (√(a−4))))arctan(((x−2)/( (√(a−4))))) ⇒ f(a)=x +(1/2)ln(x^2 −4x+a)+(9/( (√(a−4))))arctan(((x−2)/( (√(a−4))))) rest to calculate f^′ (a) and f^′ (6)....

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}}\mathrm{dx}\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}>\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=−\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{7}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{7}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=−\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{6}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}+\mathrm{x}−\mathrm{a}+\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}}\mathrm{dx}=\mathrm{x}+\int\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{a}+\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}\rightarrow\Delta^{'\:} =\mathrm{4}−\mathrm{a}<\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{a}+\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2a}+\mathrm{14}−\mathrm{4}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}}\mathrm{dx}\:+\mathrm{9}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{4}\:+\mathrm{a}−\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}\right)+\mathrm{9}\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{4}}\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}−\mathrm{4}}=_{\mathrm{x}−\mathrm{2}=\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{4}}\mathrm{u}} \:\:\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{4}}\mathrm{du}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{4}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{4}}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{a}\right)+\frac{\mathrm{9}}{\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{4}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{4}}}\right) \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{6}\right).... \\ $$

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