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Question Number 16066 by Tinkutara last updated on 21/Jun/17

Let ABCD be a convex quadrilateral and let k > 0 be a real number. Find the locus of points M in its interior such that [MAB] + 2[MCD] = k.

$$\mathrm{Let}\:{ABCD}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{convex}\:\mathrm{quadrilateral} \\ $$ $$\mathrm{and}\:\mathrm{let}\:{k}\:>\:\mathrm{0}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number}.\:\mathrm{Find} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{points}\:{M}\:\mathrm{in}\:\mathrm{its}\:\mathrm{interior} \\ $$ $$\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$ $$\left[{MAB}\right]\:+\:\mathrm{2}\left[{MCD}\right]\:=\:{k}. \\ $$

Answered by mrW1 last updated on 28/Jun/17

Let AB=a, CD=b ⇒[MAB]=(1/2)ah_1 ⇒[MCD]=(1/2)bh_2 with h_1 =distance from M to side AB h_2 =distance from M to side CD [MAB] + 2[MCD] = k=constant ⇒(1/2)(ah_1 +2bh_2 )=k ⇒(1/2)(ah_1 +b′h_2 )=k with b′=2b

$$\mathrm{Let}\:\mathrm{AB}=\mathrm{a},\:\mathrm{CD}=\mathrm{b} \\ $$ $$\Rightarrow\left[\mathrm{MAB}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} \\ $$ $$\Rightarrow\left[\mathrm{MCD}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{bh}_{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{with} \\ $$ $$\mathrm{h}_{\mathrm{1}} =\mathrm{distance}\:\mathrm{from}\:\mathrm{M}\:\mathrm{to}\:\mathrm{side}\:\mathrm{AB} \\ $$ $$\mathrm{h}_{\mathrm{2}} =\mathrm{distance}\:\mathrm{from}\:\mathrm{M}\:\mathrm{to}\:\mathrm{side}\:\mathrm{CD} \\ $$ $$ \\ $$ $$\left[{MAB}\right]\:+\:\mathrm{2}\left[{MCD}\right]\:=\:{k}=\mathrm{constant} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2bh}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{k} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{k}\:\mathrm{with}\:\mathrm{b}'=\mathrm{2b} \\ $$

Commented bymrW1 last updated on 28/Jun/17

Commented bymrW1 last updated on 29/Jun/17

Case 1: AB//CD h_1 +h_2 =h=constant (1/2)(ah_1 +b′h_2 )=k ⇒(1/2)[ah_1 +b′(h−h_1 )]=k ⇒(a−b′)h_1 +b′h=2k if a=b′: ⇒ b′h=2k ⇒ k=((b′h)/2)=((ah)/2) i.e. k must be ((ah)/2), otherwise there is no solution. In this situation M can be everywhere in interior of ABCD. if a≠b′: (a−b′)h_1 +b′h=2k ⇒h_1 =((2k−b′h)/(a−b′))=((k/((b′h)/2))−1)×((1/((a/(b′))−1)))×h=constant ⇒the locus of M is a straight line parallel to AB and CD. But there is a solution only if the value of k is between ((ah)/2) and ((b′h)/2), see diagram above. When k=((ah)/2), M lies on side CD. When k=((b′h)/2), M lies on side AB.

$$\mathrm{Case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{AB}//\mathrm{CD} \\ $$ $$\mathrm{h}_{\mathrm{1}} +\mathrm{h}_{\mathrm{2}} =\mathrm{h}=\mathrm{constant} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{k} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\left(\mathrm{h}−\mathrm{h}_{\mathrm{1}} \right)\right]=\mathrm{k} \\ $$ $$\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}'\right)\mathrm{h}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}=\mathrm{2k} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{a}=\mathrm{b}': \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{b}'\mathrm{h}=\mathrm{2k}\:\Rightarrow\:\mathrm{k}=\frac{\mathrm{b}'\mathrm{h}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{ah}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\mathrm{k}\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\frac{\mathrm{ah}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{otherwise}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is} \\ $$ $$\mathrm{no}\:\mathrm{solution}.\:\mathrm{In}\:\mathrm{this}\:\mathrm{situation}\:\mathrm{M}\:\mathrm{can} \\ $$ $$\mathrm{be}\:\mathrm{everywhere}\:\mathrm{in}\:\mathrm{interior}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ABCD}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{a}\neq\mathrm{b}': \\ $$ $$\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}'\right)\mathrm{h}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}=\mathrm{2k} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{h}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2k}−\mathrm{b}'\mathrm{h}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}'}=\left(\frac{\mathrm{k}}{\frac{\mathrm{b}'\mathrm{h}}{\mathrm{2}}}−\mathrm{1}\right)×\left(\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}'}−\mathrm{1}}\right)×\mathrm{h}=\mathrm{constant} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line} \\ $$ $$\mathrm{parallel}\:\mathrm{to}\:\mathrm{AB}\:\mathrm{and}\:\mathrm{CD}.\:\mathrm{But}\:\mathrm{there} \\ $$ $$\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{k}\:\mathrm{is} \\ $$ $$\mathrm{between}\:\frac{\mathrm{ah}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{b}'\mathrm{h}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{see}\:\mathrm{diagram}\:\mathrm{above}. \\ $$ $$\mathrm{When}\:\mathrm{k}=\frac{\mathrm{ah}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{M}\:\mathrm{lies}\:\mathrm{on}\:\mathrm{side}\:\mathrm{CD}. \\ $$ $$\mathrm{When}\:\mathrm{k}=\frac{\mathrm{b}'\mathrm{h}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{M}\:\mathrm{lies}\:\mathrm{on}\:\mathrm{side}\:\mathrm{AB}. \\ $$

Commented bymrW1 last updated on 29/Jun/17

Case 2: AB and CD meets at O ∠AOD=α (1/2)(ah_1 +b′h_2 )=k ⇒ ah_1 +b′h_2 =2k that means point M has to fulfill that ah_1 +b′h_2 =constant which is 2k. We make OA′=AB=a and OD′=2CD=2b=b′. We get A′D′. Every point on A′D′ fulfills that ah_1 +b′h_2 =constant. Every point on any straight line // A′D′ fulfills also this condition. Each line parallel to A′D′ stands for a certain value of k from 0 to +∞. We have following special lines // A′D′: A1 corresponding to k_1 =2A_(ΔACD) D2 corresponding to k_2 =A_(ΔADB) C3 corresponding to k_3 =A_(ΔACB) B4 corresponding to k_4 =2A_(ΔCBD) So we have: if k<k_1 ⇒ no solution for point M if k_1 ≤k≤k_2 ⇒ Locus of M is a part of straight line from AD to AB if k_2 ≤k≤k_3 ⇒ Locus of M is a straight line EF // A′D′ if k_3 ≤k≤k_4 ⇒ Locus of M is a part of straight line from BC to AB if k>k_4 ⇒ no solution for point M

$$\mathrm{Case}\:\mathrm{2}:\:\mathrm{AB}\:\mathrm{and}\:\mathrm{CD}\:\mathrm{meets}\:\mathrm{at}\:\mathrm{O} \\ $$ $$\angle\mathrm{AOD}=\alpha \\ $$ $$ \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{k} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2k} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\mathrm{means}\:\mathrm{point}\:\mathrm{M}\:\mathrm{has}\:\mathrm{to}\:\mathrm{fulfill}\:\mathrm{that} \\ $$ $$\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}_{\mathrm{2}} =\mathrm{constant}\:\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2k}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{We}\:\mathrm{make}\:\mathrm{OA}'=\mathrm{AB}=\mathrm{a}\:\mathrm{and} \\ $$ $$\mathrm{OD}'=\mathrm{2CD}=\mathrm{2b}=\mathrm{b}'. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{We}\:\mathrm{get}\:\mathrm{A}'\mathrm{D}'. \\ $$ $$\mathrm{Every}\:\mathrm{point}\:\mathrm{on}\:\mathrm{A}'\mathrm{D}'\:\mathrm{fulfills}\:\mathrm{that}\: \\ $$ $$\mathrm{ah}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{h}_{\mathrm{2}} =\mathrm{constant}. \\ $$ $$\mathrm{Every}\:\mathrm{point}\:\mathrm{on}\:\mathrm{any}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line}\://\:\mathrm{A}'\mathrm{D}' \\ $$ $$\mathrm{fulfills}\:\mathrm{also}\:\mathrm{this}\:\mathrm{condition}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{Each}\:\mathrm{line}\:\mathrm{parallel}\:\mathrm{to}\:\mathrm{A}'\mathrm{D}'\:\mathrm{stands}\:\mathrm{for} \\ $$ $$\mathrm{a}\:\mathrm{certain}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{k}\:\mathrm{from}\:\mathrm{0}\:\mathrm{to}\:+\infty. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{following}\:\mathrm{special}\:\mathrm{lines}\://\:\mathrm{A}'\mathrm{D}': \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{A1}\:\mathrm{corresponding}\:\mathrm{to}\:\mathrm{k}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2A}_{\Delta\mathrm{ACD}} \\ $$ $$\mathrm{D2}\:\mathrm{corresponding}\:\mathrm{to}\:\mathrm{k}_{\mathrm{2}} =\mathrm{A}_{\Delta\mathrm{ADB}} \\ $$ $$\mathrm{C3}\:\mathrm{corresponding}\:\mathrm{to}\:\mathrm{k}_{\mathrm{3}} =\mathrm{A}_{\Delta\mathrm{ACB}} \\ $$ $$\mathrm{B4}\:\mathrm{corresponding}\:\mathrm{to}\:\mathrm{k}_{\mathrm{4}} =\mathrm{2A}_{\Delta\mathrm{CBD}} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{So}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{k}<\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{point}\:\mathrm{M} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{k}\leqslant\mathrm{k}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{Locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line}\:\mathrm{from}\:\mathrm{AD}\:\mathrm{to}\:\mathrm{AB} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{k}_{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{k}\leqslant\mathrm{k}_{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\:\mathrm{Locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line}\:\mathrm{EF}\://\:\mathrm{A}'\mathrm{D}' \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{k}_{\mathrm{3}} \leqslant\mathrm{k}\leqslant\mathrm{k}_{\mathrm{4}} \:\Rightarrow\:\mathrm{Locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line}\:\mathrm{from}\:\mathrm{BC}\:\mathrm{to}\:\mathrm{AB} \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{if}\:\mathrm{k}>\mathrm{k}_{\mathrm{4}} \:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{point}\:\mathrm{M} \\ $$

Commented byTinkutara last updated on 29/Jun/17

Thanks Sir! Very much.

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}!\:\boldsymbol{\mathrm{Very}}\:\boldsymbol{\mathrm{much}}. \\ $$

Commented bymrW1 last updated on 28/Jun/17

Commented bymrW1 last updated on 28/Jun/17

Here is how to determine the line EF for a certain value of k. Area of ΔOA′D′=A_0 A_0 =ab′sin α A′D′ stands for k=k_0 =A_0 EF stands for k ((OE)/(OA′))=(√(k/A_0 )) ⇒OE=(√((k/A_0 ) ))a

$$\mathrm{Here}\:\mathrm{is}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{EF} \\ $$ $$\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{certain}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{k}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{Area}\:\mathrm{of}\:\Delta\mathrm{OA}'\mathrm{D}'=\mathrm{A}_{\mathrm{0}} \\ $$ $$\mathrm{A}_{\mathrm{0}} =\mathrm{ab}'\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{A}'\mathrm{D}'\:\mathrm{stands}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{k}_{\mathrm{0}} =\mathrm{A}_{\mathrm{0}} \\ $$ $$\mathrm{EF}\:\mathrm{stands}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k} \\ $$ $$ \\ $$ $$\frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OA}'}=\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{A}_{\mathrm{0}} }} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{OE}=\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{A}_{\mathrm{0}} }\:}\mathrm{a} \\ $$

Answered by Tinkutara last updated on 29/Jun/17

Combining Problems 3 and 5 and using the construction above, we deduce that the area of XY ′M is constant. (Figure). It results that the locus is (according to the value of k) either a segment KL parallel to XY ′, or a point, or the empty set.

$$\mathrm{Combining}\:\mathrm{Problems}\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{5}\:\mathrm{and}\:\mathrm{using} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{construction}\:\mathrm{above},\:\mathrm{we}\:\mathrm{deduce} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{area}\:\mathrm{of}\:{XY}\:'{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{constant}. \\ $$ $$\left(\mathrm{Figure}\right).\:\mathrm{It}\:\mathrm{results}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{is} \\ $$ $$\left(\mathrm{according}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{k}\right)\:\mathrm{either}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\mathrm{segment}\:{KL}\:\mathrm{parallel}\:\mathrm{to}\:{XY}\:',\:\mathrm{or}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\mathrm{point},\:\mathrm{or}\:\mathrm{the}\:\mathrm{empty}\:\mathrm{set}. \\ $$

Commented byTinkutara last updated on 29/Jun/17

Commented byTinkutara last updated on 29/Jun/17

This is my book′s solution. Here Problem 3 is Q. 16064 and 5 is Q. 16066 problem. (This Question)

$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{my}\:\mathrm{book}'\mathrm{s}\:\mathrm{solution}.\:\mathrm{Here} \\ $$ $$\mathrm{Problem}\:\mathrm{3}\:\mathrm{is}\:\mathrm{Q}.\:\mathrm{16064}\:\mathrm{and}\:\mathrm{5}\:\mathrm{is}\:\mathrm{Q}.\:\mathrm{16066} \\ $$ $$\mathrm{problem}.\:\left(\mathrm{This}\:\mathrm{Question}\right) \\ $$

Commented bymrW1 last updated on 30/Jun/17

In princip the answer is the same as mine. The locus of M is KL which is parallel to XY′ (but the figure shows KL//XY, this is wrong) And my answer is much more exact, it tells you the different situations for the locus of M depending on the ranges for k: k_1 till t_4 . My answer tells also how to determine the position of locus of M for a certain value of k. The answer of book mentions only that the solution could be empty set, but not when. My answer tells exactly when, i.e. if k<k_1 or k>k_4 and gives the values of k_1 and k_4 as well as other special k−values k_2 and k_3 when the locus of M is a single point (k=k_1 ,k=k_4 ), part of a segment from AB to CD (k_1 <k<k_2 , k_3 <k<k_4 )or a whole segment from AB to CD (k_2 ≤k≤k_3 ). But the core of both solutions is the same: the locus of M is a straight line parallel to XY′ (=A′D′ by me) with TX=AB (=OA′ by me) and TY′=2CD (=OD′ by me) Certainly my answer treats also the case if AB//CD.

$$\mathrm{In}\:\mathrm{princip}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{as} \\ $$ $$\mathrm{mine}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{KL}\:\mathrm{which}\:\mathrm{is} \\ $$ $$\mathrm{parallel}\:\mathrm{to}\:\mathrm{XY}'\:\left(\mathrm{but}\:\mathrm{the}\:\mathrm{figure}\:\mathrm{shows}\right. \\ $$ $$\left.\mathrm{KL}//\mathrm{XY},\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong}\right) \\ $$ $$\mathrm{And}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{much}\:\mathrm{more}\:\mathrm{exact}, \\ $$ $$\mathrm{it}\:\mathrm{tells}\:\mathrm{you}\:\mathrm{the}\:\mathrm{different}\:\mathrm{situations}\:\mathrm{for} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{depending}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ranges}\:\mathrm{for} \\ $$ $$\mathrm{k}:\:\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{till}\:\mathrm{t}_{\mathrm{4}} .\:\mathrm{My}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{tells}\:\mathrm{also}\:\mathrm{how} \\ $$ $$\mathrm{to}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{position}\:\mathrm{of}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{of} \\ $$ $$\mathrm{M}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{certain}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{k}. \\ $$ $$\mathrm{The}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{of}\:\mathrm{book}\:\mathrm{mentions}\:\mathrm{only} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{could}\:\mathrm{be}\:\mathrm{empty}\:\mathrm{set}, \\ $$ $$\mathrm{but}\:\mathrm{not}\:\mathrm{when}.\:\mathrm{My}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{tells}\:\mathrm{exactly} \\ $$ $$\mathrm{when},\:\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\mathrm{if}\:\mathrm{k}<\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{or}\:\mathrm{k}>\mathrm{k}_{\mathrm{4}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{gives} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{k}_{\mathrm{4}} \:\mathrm{as}\:\mathrm{well}\:\mathrm{as}\:\mathrm{other} \\ $$ $$\mathrm{special}\:\mathrm{k}−\mathrm{values}\:\mathrm{k}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{k}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{when}\:\mathrm{the} \\ $$ $$\mathrm{locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{single}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{k}=\mathrm{k}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{k}=\mathrm{k}_{\mathrm{4}} \right),\:\mathrm{part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a} \\ $$ $$\mathrm{segment}\:\mathrm{from}\:\mathrm{AB}\:\mathrm{to}\:\mathrm{CD}\:\left(\mathrm{k}_{\mathrm{1}} <\mathrm{k}<\mathrm{k}_{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{k}_{\mathrm{3}} <\mathrm{k}<\mathrm{k}_{\mathrm{4}} \:\right)\mathrm{or}\:\mathrm{a}\:\mathrm{whole} \\ $$ $$\mathrm{segment}\:\mathrm{from}\:\mathrm{AB}\:\mathrm{to}\:\mathrm{CD}\:\left(\mathrm{k}_{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{k}\leqslant\mathrm{k}_{\mathrm{3}} \right). \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{core}\:\mathrm{of}\:\mathrm{both}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the} \\ $$ $$\mathrm{same}:\:\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line} \\ $$ $$\mathrm{parallel}\:\mathrm{to}\:\mathrm{XY}'\:\left(=\mathrm{A}'\mathrm{D}'\:\mathrm{by}\:\mathrm{me}\right)\:\mathrm{with} \\ $$ $$\mathrm{TX}=\mathrm{AB}\:\left(=\mathrm{OA}'\:\mathrm{by}\:\mathrm{me}\right)\:\mathrm{and} \\ $$ $$\mathrm{TY}'=\mathrm{2CD}\:\left(=\mathrm{OD}'\:\mathrm{by}\:\mathrm{me}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{Certainly}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{treats}\:\mathrm{also}\:\mathrm{the} \\ $$ $$\mathrm{case}\:\mathrm{if}\:\mathrm{AB}//\mathrm{CD}. \\ $$

Commented byTinkutara last updated on 30/Jun/17

Thanks Sir! I knew your solution was correct. But I posted the solution in my book to show that it has a good collection of questions but not solutions.

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{I}\:\mathrm{knew}\:\mathrm{your}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{was} \\ $$ $$\mathrm{correct}.\:\mathrm{But}\:\mathrm{I}\:\mathrm{posted}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{in}\:\mathrm{my} \\ $$ $$\mathrm{book}\:\mathrm{to}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{it}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{good} \\ $$ $$\mathrm{collection}\:\mathrm{of}\:\mathrm{questions}\:\mathrm{but}\:\mathrm{not}\:\mathrm{solutions}. \\ $$

Commented bymrW1 last updated on 30/Jun/17

They are really interesting questions.

$$\mathrm{They}\:\mathrm{are}\:\mathrm{really}\:\mathrm{interesting}\:\mathrm{questions}. \\ $$

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