Question Number 160694 by naka3546 last updated on 04/Dec/21
$${Prove}\:\:{that}\:\: \\ $$ $$\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\:\ldots+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}\:\:<\:\mathrm{2}\sqrt{{n}} \\ $$
Answered by mindispower last updated on 04/Dec/21
$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}<\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{{x}}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\sqrt{{x}}\right) \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{k}}}<\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−\sqrt{{k}}\right) \\ $$ $$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}<\mathrm{2}\sqrt{{n}} \\ $$
Commented bynaka3546 last updated on 04/Dec/21
$${Thank}\:\:{you},\:\:{sir}. \\ $$
Commented bymindispower last updated on 05/Dec/21
$${withe}\:{pleasur}\:{god}\:{bless}\:{You} \\ $$