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Question Number 160792 by cortano last updated on 06/Dec/21

∫ ((sec x)/( (√(1+2sec x)))) (√((cosec x−cot x)/(cosec x+cot x))) dx =?

$$\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2sec}\:\mathrm{x}}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{cosec}\:\mathrm{x}−\mathrm{cot}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cosec}\:\mathrm{x}+\mathrm{cot}\:\mathrm{x}}}\:\mathrm{dx}\:=? \\ $$

Answered by chhaythean last updated on 06/Dec/21

=∫((1/(cosx))/( (√((cosx+2)/(cosx)))))×(√(((1−cosx)/(sinx))/((1+cosx)/(sinx))))dx =∫((1/(cosx))/( (√((cosx+2)/(cosx)))))×(√((1−cosx)/(1+cosx)))dx =∫((sinx)/( (√(cos^2 x+2cosx))))×(1/(1+cosx))dx =∫((sinx)/( (√((cosx+1)^2 −1))(1+cosx)))dx let u=1+cosx⇒du=−sinxdx =−∫(du/( (√(u^2 −1))×u)) let u=secy⇒du=secytanydy =−∫((secytany)/( tanysecy))dy=−y+c =−arcsec(u)+c =−arcsec(1+cosx)+c So determinant (((∫((secx)/( (√(1+2secx))))×(√((cosecx−cotx)/(cosecx+cotx)))dx=−arcsec(1+cosx)+c)))

$$=\int\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{cosx}+\mathrm{2}}{\mathrm{cosx}}}}×\sqrt{\frac{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}}{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{cosx}+\mathrm{2}}{\mathrm{cosx}}}}×\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cosx}}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{sinx}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2cosx}}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{sinx}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{cosx}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\Rightarrow\mathrm{du}=−\mathrm{sinxdx} \\ $$$$=−\int\frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}×\mathrm{u}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{secy}\Rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{secytanydy} \\ $$$$=−\int\frac{\mathrm{secytany}}{\:\mathrm{tanysecy}}\mathrm{dy}=−\mathrm{y}+\mathrm{c} \\ $$$$=−\mathrm{arcsec}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$=−\mathrm{arcsec}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{So}\:\begin{array}{|c|}{\int\frac{\mathrm{secx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2secx}}}×\sqrt{\frac{\mathrm{cosecx}−\mathrm{cotx}}{\mathrm{cosecx}+\mathrm{cotx}}}\mathrm{dx}=−\mathrm{arcsec}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)+\mathrm{c}}\\\hline\end{array} \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 06/Dec/21

let c=cos x → dx=−(dc/( (√(1−c^2 )))) now we have −∫(dc/((c+1)(√c)(√(c+2))))= [t=((√(c+2))/( (√c))) → dc=−(√c^3 )(√(c+2))dt] =2∫(dt/(t^2 +1))=2arctan t =2arctan ((√(c+2))/( (√c))) = =2arctan ((√(2+cos x))/( (√(cos x)))) +C

$$\mathrm{let}\:{c}=\mathrm{cos}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=−\frac{{dc}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{c}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$−\int\frac{{dc}}{\left({c}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{c}}\sqrt{{c}+\mathrm{2}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\sqrt{{c}+\mathrm{2}}}{\:\sqrt{{c}}}\:\rightarrow\:{dc}=−\sqrt{{c}^{\mathrm{3}} }\sqrt{{c}+\mathrm{2}}{dt}\right] \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{2arctan}\:{t}\:=\mathrm{2arctan}\:\frac{\sqrt{{c}+\mathrm{2}}}{\:\sqrt{{c}}}\:= \\ $$$$=\mathrm{2arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}}}\:+{C} \\ $$

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