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Question Number 160833 by Raxreedoroid last updated on 07/Dec/21

Σ_(k=1) ^∞ ((cos (ln k))/( (√k)))  divergespnt or convergent?

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{ln}\:{k}\right)}{\:\sqrt{{k}}} \\ $$$$\mathrm{divergespnt}\:\mathrm{or}\:\mathrm{convergent}? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Dec/21

let S=Σ_(n=1) ^∞  ((cos(lnn))/( (√n)))  the sequence u_n =(1/( (√n))) is decreazing to  we can prove that ∃ m>0  ∣Σ_(k=1) ^n  cos(lnk)∣<m  Σ_(k=1) ^n  cos(lnk) ≤Σ_(k=1) ^n  cos(k−1)=Re(Σ_(k=1) ^n  e^(i(k−1)) )=....  lnk≤k−1?  ϕ(x)=lnx−x+1   (x>1) ⇒ϕ^′ (x)=(1/x)−1 =((1−x)/x)<0  x        1                 +∞  ϕ^′        0      −  ϕ          0     decr   −∞⇒   therem dabel dirichlet  the serie is cv..

$$\mathrm{let}\:\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{lnn}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreazing}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\exists\:\mathrm{m}>\mathrm{0}\:\:\mid\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{lnk}\right)\mid<\mathrm{m} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{lnk}\right)\:\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{Re}\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)} \right)=.... \\ $$$$\mathrm{lnk}\leqslant\mathrm{k}−\mathrm{1}? \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{lnx}−\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\:\:\left(\mathrm{x}>\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\varphi^{'} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:− \\ $$$$\varphi\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\mathrm{decr}\:\:\:−\infty\Rightarrow\:\:\:\mathrm{therem}\:\mathrm{dabel}\:\mathrm{dirichlet}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{is}\:\mathrm{cv}.. \\ $$

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