Question Number 161900 by HongKing last updated on 23/Dec/21 | ||
$$\mathrm{0}<\mathrm{x};\mathrm{y};\mathrm{z}<\mathrm{1} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}-\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{1}-\mathrm{z}\right)=\mathrm{xyz} \\ $$ $$\mathrm{Find}: \\ $$ $$\Omega\:=\:\mathrm{min}\:\left(\frac{\mathrm{1}-\mathrm{x}}{\mathrm{xy}}\:+\:\frac{\mathrm{1}-\mathrm{y}}{\mathrm{yz}}\:+\:\frac{\mathrm{1}-\mathrm{z}}{\mathrm{zx}}\right) \\ $$ | ||
Answered by aleks041103 last updated on 24/Dec/21 | ||
$$\mathrm{1}−{x}−{y}−{z}+{xy}+{xz}+{yz}=\mathrm{2}{xyz} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}-\mathrm{x}}{\mathrm{xy}}\:+\:\frac{\mathrm{1}-\mathrm{y}}{\mathrm{yz}}\:+\:\frac{\mathrm{1}-\mathrm{z}}{\mathrm{zx}}= \\ $$ $$=\frac{{z}−{zx}+{x}−{xy}+{y}−{yz}}{{xyz}}= \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2}{xyz}}{{xyz}}=\frac{\mathrm{1}}{{xyz}}−\mathrm{2} \\ $$ $${We}\:{need}\:{to}\:{find}\:{max}\:{of}\:{xyz}: \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)\left(\mathrm{1}−{z}\right)={xyz} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{{z}}−\mathrm{1}=\frac{{xy}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)} \\ $$ $$\Rightarrow{z}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{{xy}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)}}=\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)+{xy}}= \\ $$ $$=\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)+{xy}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)+{xy}}−\frac{{xy}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−{y}\right)+{xy}}= \\ $$ $$=\mathrm{1}+\frac{{xy}}{\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}}={z}\left({x},{y}\right) \\ $$ $$\Rightarrow{f}\left({x},{y},{z}\right)={xyz}\left({x},{y}\right)= \\ $$ $$={xy}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} {y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}} \\ $$ $${f}_{{x}} =\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{xy}}{\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} {y}\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}\right)^{\mathrm{2}} }\right){y}=\mathrm{0} \\ $$ $${f}_{{y}} =\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{xy}}{\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}}+\frac{{xy}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}\right)^{\mathrm{2}} }\right){x}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\left(\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{xy}\left(\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}\right)+{x}^{\mathrm{2}} {y}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\left(\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{xy}\left(\mathrm{1}−{x}−{y}+\mathrm{2}{xy}\right)+{y}^{\mathrm{2}} {x}\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right){y}={y}^{\mathrm{2}} {x}\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow{x}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)={y}\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)={a} \\ $$ $$\Rightarrow{x},{y}\:{are}\:{solutions}\:{to}\:\mathrm{2}{p}^{\mathrm{2}} −{p}−{a}=\mathrm{0} \\ $$ $${x}={y} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \right)+{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$... \\ $$ | ||
Commented byHongKing last updated on 28/Dec/21 | ||
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{cool} \\ $$ | ||