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Question Number 162081 by cortano last updated on 26/Dec/21

   lim_(x→0)  ((√((1/x)+(√((1/x)+(√(1/x)))))) −(√((1/x)−(√((1/x)+(√(1/x)))))) =?

$$\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:=?\right. \\ $$

Answered by mr W last updated on 26/Dec/21

(1/L) =lim_(x→0)  (1/( (√((1/x)+(√((1/x)+(√(1/x)))))) −(√((1/x)−(√((1/x)+(√(1/x)))))) ))   =lim_(x→0)  (((√((1/x)+(√((1/x)+(√(1/x)))))) +(√((1/x)−(√((1/x)+(√(1/x)))))) )/( (1/x)+(√((1/x)+(√(1/x)))) −(1/x)+(√((1/x)+(√(1/x)))) ))   =lim_(x→0)  (((√((1/x)+(√((1/x)+(√(1/x)))))) +(√((1/x)−(√((1/x)+(√(1/x)))))) )/( 2(√((1/x)+(√(1/x)))) ))   =lim_(x→0)  (((√(1+(√(x+x(√x))))) +(√(1−(√(x+x(√x))))) )/( 2(√(1+(√x))) ))   =lim_(x→0)  (((√(1+0)) +(√(1−0)) )/( 2(√(1+0)) ))=1    ⇒L=1

$$\frac{\mathrm{1}}{{L}}\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:}{\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}}\:}{\:\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{{x}+{x}\sqrt{{x}}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\sqrt{{x}+{x}\sqrt{{x}}}}\:}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}\:} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{0}}\:}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}\:}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{L}=\mathrm{1} \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 26/Dec/21

Great sir

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$

Answered by blackmamba last updated on 26/Dec/21

 lim_(x→∞)  (√(x+(√(x+(√x))))) −(√(x−(√(x+(√x)))))    = lim_(x→∞)  ((2(√(x+(√x))))/( (√(x+(√(x+(√x)))))+(√(x−(√(x+(√x)))))))    = 2×lim_(x→∞)  (((√x) ((√(1+(√(1/x)))) ))/( (√x) ((√(1+(√((1/x)+(√(1/x^2 ))))))+(√(1−(√((1/x)+(√(1/x^2 )))))) )))    = 2×(1/(1+1)) = 1

$$\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\:−\sqrt{{x}−\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}\: \\ $$$$\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}{\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}+\sqrt{{x}−\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}\: \\ $$$$\:=\:\mathrm{2}×\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}\:\right)}{\:\sqrt{{x}}\:\left(\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}}+\sqrt{\mathrm{1}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}}}\:\right)} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$

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