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Question Number 162117 by CM last updated on 27/Dec/21

Commented by cortano last updated on 27/Dec/21

∫ x^2 (√(4 −(1−x)^2 )) dx =? [ 1−x = 2sin t ⇒dx=−2cos t dt ] ∫ (1−2sin t)^2 (−2cos^2 t)dt = −∫(3−4sin t−2cos 2t)(1+cos 2t)dt =−∫(2+cos 2t−4sin t−4sin t cos 2t−cos 4t)dt =−2t−((sin 2t)/2)−4cos t+((sin 4t)/4)+∫4sin t cos 2t dt = −2arcsin (((1−x)/2))−2(√(3+2x−x^2 ))−(((1−x)(√(3+2x−x^2 )))/4) +4∫(2cos^2 t−1)d(cos t) = −2arcsin (((1−x)/2))−(((9−x)/4))(√(3+2x−x^2 )) +(8/3)cos^3 t−4cos t + c

$$\:\int\:{x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{\mathrm{4}\:−\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx}\:=? \\ $$$$\:\left[\:\mathrm{1}−{x}\:=\:\mathrm{2sin}\:{t}\:\Rightarrow{dx}=−\mathrm{2cos}\:{t}\:{dt}\:\right] \\ $$$$\:\int\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:{t}\right)^{\mathrm{2}} \:\left(−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} {t}\right){dt} \\ $$$$\:=\:−\int\left(\mathrm{3}−\mathrm{4sin}\:{t}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{t}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}\right){dt} \\ $$$$\:=−\int\left(\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}−\mathrm{4sin}\:{t}−\mathrm{4sin}\:{t}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{t}\right){dt} \\ $$$$\:\:=−\mathrm{2}{t}−\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{t}}{\mathrm{2}}−\mathrm{4cos}\:{t}+\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{t}}{\mathrm{4}}+\int\mathrm{4sin}\:{t}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}\:{dt} \\ $$$$\:=\:−\mathrm{2arcsin}\:\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:+\mathrm{4}\int\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} {t}−\mathrm{1}\right){d}\left(\mathrm{cos}\:{t}\right) \\ $$$$\:=\:−\mathrm{2arcsin}\:\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{2}}\right)−\left(\frac{\mathrm{9}−{x}}{\mathrm{4}}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} {t}−\mathrm{4cos}\:{t}\:+\:{c} \\ $$

Answered by FongXD last updated on 27/Dec/21

I=∫x^2 (√(3+2x−x^2 ))dx=∫x^2 (√(4−(x−1)^2 ))dx let x−1=2sinθ, ⇒ dx=2cosθdθ I=∫(2sinθ+1)^2 (√(4−4sin^2 θ))×2cosθdθ I=∫(4sin^2 θ+4sinθ+1)×4cos^2 θdθ I=∫(4sin^2 2θ+4cos^2 θ)dθ+16∫cos^2 θsinθdθ I=∫(2−2cos4θ+2+2cos2θ)dθ−((16)/3)cos^3 θ I=4θ−(1/2)sin4θ+sin2θ−((16)/3)cos^3 θ+c (∗) but x−1=2sinθ, ⇒ sinθ=((x−1)/2), ⇒ θ=arcsin(((x−1)/2)) • cos^3 θ=(1−sin^2 θ)(√(1−sin^2 θ))=[1−(((x−1)/2))^2 ](√(1−(((x−1)/2))^2 ))=(1/( 8))(3+2x−x^2 )(√(3+2x−x^2 )) • sin2θ=2sinθ(√(1−sin^2 θ))=2(((x−1)/2))(√(1−(((x−1)/2))^2 ))=(1/2)(x−1)(√(3+2x−x^2 )) • sin4θ=2sin2θcos2θ=2sin2θ(1−2sin^2 θ) ⇔ sin4θ=(x−1)(√(3+2x−x^2 ))[1−2(((x−1)/2))^2 ] ⇒ sin4θ=(1/2)(x−1)(1+2x−x^2 )(√(3+2x−x^2 )) (∗): I=4arcsin(((x−1)/2))−(1/4)(x−1)(1+2x−x^2 )(√(3+2x−x^2 ))+(1/2)(x−1)(√(3+2x−x^2 ))−(2/3)(3+2x−x^2 )(√(3+2x−x^2 ))+c I=4arcsin(((x−1)/2))+(1/4)(x−1)(x^2 −2x+1)(√(3+2x−x^2 ))−(2/3)(3+2x−x^2 )(√(3+2x−x^2 ))+c I=4arcsin(((x−1)/2))+(1/(12))[3(x^3 −3x^2 +3x−1)−8(3+2x−x^2 )](√(3+2x−x^2 ))+c ⇒ I=4arcsin(((x−1)/2))+(1/(12))(3x^3 −x^2 −7x−27)(√(3+2x−x^2 ))+c

$$\mathrm{I}=\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{4}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{2sin}\theta,\:\Rightarrow\:\mathrm{dx}=\mathrm{2cos}\theta\mathrm{d}\theta \\ $$$$\mathrm{I}=\int\left(\mathrm{2sin}\theta+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \theta}×\mathrm{2cos}\theta\mathrm{d}\theta \\ $$$$\mathrm{I}=\int\left(\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{4sin}\theta+\mathrm{1}\right)×\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} \theta\mathrm{d}\theta \\ $$$$\mathrm{I}=\int\left(\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\theta+\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} \theta\right)\mathrm{d}\theta+\mathrm{16}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}\theta \\ $$$$\mathrm{I}=\int\left(\mathrm{2}−\mathrm{2cos4}\theta+\mathrm{2}+\mathrm{2cos2}\theta\right)\mathrm{d}\theta−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{4}\theta−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin4}\theta+\mathrm{sin2}\theta−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta+\mathrm{c}\:\:\:\:\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{2sin}\theta,\:\Rightarrow\:\mathrm{sin}\theta=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\Rightarrow\:\theta=\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\bullet\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta=\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\right)\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta}=\left[\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \right]\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{8}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\bullet\:\mathrm{sin2}\theta=\mathrm{2sin}\theta\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\bullet\:\mathrm{sin4}\theta=\mathrm{2sin2}\theta\mathrm{cos2}\theta=\mathrm{2sin2}\theta\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \theta\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{sin4}\theta=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin4}\theta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\ast\right):\:\mathrm{I}=\mathrm{4arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{4arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{4arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left[\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{8}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right]\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{I}=\mathrm{4arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}−\mathrm{27}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{c} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Dec/21

Φ=∫ x^2 (√(−x^2 +2x+3))dx ⇒Φ=∫ x^2 (√(−(x^2 −2x−3)))dx =∫ x^2 (√(−(x^2 −2x+1−4)))dx =∫x^2 (√(4−(x−1)^2 ))dx changement x−1=2sinθ give Φ=∫(1+2sinθ)^2 2 cosθ (2cosθ)dθ =4∫ (2sinθ+1)^2 cos^2 θ dθ =4∫ (4sin^2 θ +4sinθ +1)cos^2 θ dθ =16∫ sin^2 θ .cos^2 θ +16∫ cos^2 θ sinθ dθ +4∫ cos^2 θ dθ =4∫ sin^2 (2θ)dθ −((16)/3)cos^3 θ +2∫(1+cos(2θ))dθ =2∫(1−cos(4θ))dθ−((16)/3)cos^3 θ +2θ +sin(2θ)+C =4θ −(1/2)sin(2θ) −((16)/3)cos^3 θ +sin(2θ) +C=4θ+(1/2)sin(2θ)−((16)/3)cos^3 θ +c but θ=arcsin(((x−1)/2)) ⇒ Φ=4arcsin(((x−1)/2))+(1/2)sin(2arcsin(((x−1)/2))) −((16)/3)((√(1−(((x−1)/2))^2 )))^3 +C

$$\Phi=\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi=\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{4}\right)}\mathrm{dx}\:=\int\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{4}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{changement}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{2sin}\theta\:\mathrm{give} \\ $$$$\Phi=\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2sin}\theta\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\:\mathrm{cos}\theta\:\left(\mathrm{2cos}\theta\right)\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\mathrm{4}\int\:\:\left(\mathrm{2sin}\theta+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\mathrm{4}\int\:\left(\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \theta\:+\mathrm{4sin}\theta\:+\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\mathrm{16}\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\:.\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:+\mathrm{16}\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{sin}\theta\:\mathrm{d}\theta\:+\mathrm{4}\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\mathrm{4}\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\theta\right)\mathrm{d}\theta\:−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta\:+\mathrm{2}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\theta\right)\right)\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\mathrm{2}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{4}\theta\right)\right)\mathrm{d}\theta−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta\:+\mathrm{2}\theta\:\:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\theta\right)+\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{4}\theta\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\theta\right)\:−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta\:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\theta\right)\:+\mathrm{C}=\mathrm{4}\theta+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\theta\right)−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \theta\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{but}\:\theta=\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=\mathrm{4arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\left(\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{C} \\ $$

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