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Question Number 162190 by naka3546 last updated on 27/Dec/21

⌊ ((3^2 +1)/(3^2 −1)) + ((3^3 +1)/(3^3 −1)) + ((3^4 +1)/(3^4 −1)) + …+ ((3^(2017) +1)/(3^(2017) −1)) ⌋ = ?

$$\lfloor\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}\:+\:\ldots+\:\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2017}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2017}} −\mathrm{1}}\:\rfloor\:=\:\:? \\ $$

Answered by mr W last updated on 28/Dec/21

Σ_(k=2) ^n ((3^k +1)/(3^k −1)) =Σ_(k=2) ^n (1+(2/(3^k −1))) =n−1+Σ_(k=1) ^n (2/(3^k −1))−1 =n−2+Σ_(k=1) ^n (2/(3^k −1)) =n−2+S_n with S_n =Σ_(k=1) ^n (2/(3^k −1)) ⌊Σ_(k=2) ^n ((3^k +1)/(3^k −1)) ⌋=n−2+⌊S_n ⌋ S_1 ≤S_n <S_∞ S_1 =1 S_∞ =lim_(n→0) Σ_(k=1) ^n (2/(3^k −1)) =2Σ_(k=1) ^∞ (1/(3^k −1))=2×((ln 3−ln 2−ψ_(1/3) (1))/(ln 3))≈1.36431 1≤S_n <1.36431 ⇒⌊S_n ⌋=1 ⌊Σ_(k=2) ^n ((3^k +1)/(3^k −1)) ⌋=n−2+⌊S_n ⌋=n−2+1=n−1 ⇒⌊Σ_(k=2) ^n ((3^k +1)/(3^k −1)) ⌋=n−1 for n=2017: ⇒⌊Σ_(k=2) ^(2017) ((3^k +1)/(3^k −1)) ⌋=2017−1=2016

$$\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{3}^{{k}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$={n}−\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}−\mathrm{1} \\ $$$$={n}−\mathrm{2}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}} \\ $$$$={n}−\mathrm{2}+{S}_{{n}} \:\:\:{with}\:{S}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\lfloor\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{3}^{{k}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}\:\rfloor={n}−\mathrm{2}+\lfloor{S}_{{n}} \rfloor \\ $$$$\:{S}_{\mathrm{1}} \leqslant{S}_{{n}} <{S}_{\infty} \\ $$$${S}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${S}_{\infty} =\underset{{n}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}\:=\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\psi_{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\approx\mathrm{1}.\mathrm{36431} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant{S}_{{n}} <\mathrm{1}.\mathrm{36431} \\ $$$$\Rightarrow\lfloor{S}_{{n}} \rfloor=\mathrm{1} \\ $$$$\lfloor\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{3}^{{k}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}\:\rfloor={n}−\mathrm{2}+\lfloor{S}_{{n}} \rfloor={n}−\mathrm{2}+\mathrm{1}={n}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\lfloor\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{3}^{{k}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}\:\rfloor={n}−\mathrm{1} \\ $$$${for}\:{n}=\mathrm{2017}: \\ $$$$\Rightarrow\lfloor\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{2017}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{3}^{{k}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{k}} −\mathrm{1}}\:\rfloor=\mathrm{2017}−\mathrm{1}=\mathrm{2016} \\ $$

Commented by naka3546 last updated on 28/Dec/21

Thank you, sir.

$${Thank}\:\:{you},\:\:{sir}. \\ $$

Commented by mr W last updated on 28/Dec/21

𝚺_(n=1) ^∞ (1/(k^n −1))=((ln k−ln (k−1)−𝛙_(1/k) (1))/(ln k))

$$\underset{\boldsymbol{{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\boldsymbol{\sum}}}\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{k}}^{\boldsymbol{{n}}} −\mathrm{1}}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\:\boldsymbol{{k}}−\boldsymbol{\mathrm{ln}}\:\left(\boldsymbol{{k}}−\mathrm{1}\right)−\boldsymbol{\psi}_{\mathrm{1}/\boldsymbol{{k}}} \left(\mathrm{1}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\:\boldsymbol{{k}}}\: \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 28/Dec/21

e^x cellent sir!

$$\boldsymbol{{e}}^{\boldsymbol{{x}}} {cellent}\:{sir}! \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 28/Dec/21

Great sir.

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir}. \\ $$

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