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Question Number 163747 by HongKing last updated on 10/Jan/22

a^2 (a - 3b) = b^2 (b - 3a) + 27  ab = 2  find  a^3  - b^3  = ?

$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\:-\:\mathrm{3b}\right)\:=\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}\:-\:\mathrm{3a}\right)\:+\:\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{ab}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{find}\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \:-\:\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \:=\:? \\ $$

Answered by nurtani last updated on 10/Jan/22

a^3 −3a^2 b=b^3 −3ab^2 +27  a^3 −b^3 =3a^2 b−3ab^2 +27  a^3 −b^3 =3ab(a−b)+27  a^3 −b^3 =3(2)(a−b)+27  a^3 −b^3 =6(a−b)+27.......(1)  a^3 −b^3 =(a−b)(a^2 +ab+b^2 )               =(a−b)(a^2 +b^2 +ab)               =(a−b)((a−b)^2 +2ab+ab)               =(a−b)((a−b)^2 +3ab)               =(a−b)((a−b)^2 +3(2))               =(a−b)((a−b)^2 +6)......(2)      (1=2)      6(a−b)+27=(a−b)((a−b)^2 +6)  6(a−b)+27=(a−b)^3 +6(a−b)  (a−b)^3 =27⇒a−b=3  ∴ a^3 −b^3 =6(a−b)+27                   =6(3)+27                   =18+27                   =45     ■

$${a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} {b}={b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{27} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} {b}−\mathrm{3}{ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{27} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{ab}\left({a}−{b}\right)+\mathrm{27} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{2}\right)\left({a}−{b}\right)+\mathrm{27} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{6}\left({a}−{b}\right)+\mathrm{27}.......\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\left({a}−{b}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{ab}+{b}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({a}−{b}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{ab}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({a}−{b}\right)\left(\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{ab}+{ab}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({a}−{b}\right)\left(\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{ab}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({a}−{b}\right)\left(\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left({a}−{b}\right)\left(\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\right)......\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\underline{\left(\mathrm{1}=\mathrm{2}\right)}\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{6}\left({a}−{b}\right)+\mathrm{27}=\left({a}−{b}\right)\left(\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\right) \\ $$$$\cancel{\mathrm{6}\left({a}−{b}\right)}+\mathrm{27}=\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{3}} +\cancel{\mathrm{6}\left({a}−{b}\right)} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{27}\Rightarrow{a}−{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\therefore\:{a}^{\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{6}\left({a}−{b}\right)+\mathrm{27} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{6}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{27} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{18}+\mathrm{27} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{45}\:\:\:\:\:\blacksquare \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 10/Jan/22

a^3 −3a^2 b=b^3 −3ab^2 +27  a^3 −3a^2 b+3ab^2 −b^3 =27........(∗)  (a−b)^3 =27  a−b=3  (∗)⇒a^3 −b^3 −3ab(a−b)=27  a^3 −b^3 =27+3ab(a−b)               =27+3(2)(3)                =45

$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}=\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}+\mathrm{3ab}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{27}........\left(\ast\right) \\ $$$$\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}=\mathrm{3} \\ $$$$\left(\ast\right)\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{27}+\mathrm{3ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{27}+\mathrm{3}\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{45} \\ $$

Commented by HongKing last updated on 10/Jan/22

very nice my dear Sir thank you

$$\mathrm{very}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

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