Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Trigonometry Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Trigonometry      Next in Trigonometry      

Question Number 164606 by cortano1 last updated on 19/Jan/22

Min f(x)= cos 2x +(√3) sin 2x −2(√3) cos x−2sin x is ...

$$\:{Min}\:{f}\left({x}\right)=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{2sin}\:{x} \\ $$$$\:{is}\:... \\ $$

Answered by bobhans last updated on 19/Jan/22

f(x)= cos 2x + (√3) sin 2x −2(√3) cos x−2sin x set ϑ =sin x+(√3) cos x⇒ϑ^2 =sin^2 x+3cos^2 x+(√3) sin 2x we know that { ((sin^2 x=((1−cos 2x)/2))),((cos^2 =((1+cos 2x)/2))) :} ∵ sin^2 x+3cos^2 x = ((1−cos 2x+3+3cos 2x)/2)=2+cos 2x ⇒ϑ^2 = 2+cos 2x+(√3) sin 2x ⇒f(ϑ)= ϑ^2 −2−2ϑ=ϑ^2 −2ϑ−2=(ϑ−1)^2 −3 min f(ϑ)= −3 when ϑ=1=sin x+(√3) cos x or (1/2)= (1/2)sin x+((√3)/2) cos x (1/2) = cos (x−30°); x=90°

$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:+\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\mathrm{set}\:\vartheta\:=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\Rightarrow\vartheta^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\begin{cases}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\:\because\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{3}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\Rightarrow\vartheta^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\vartheta\right)=\:\vartheta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}−\mathrm{2}\vartheta=\vartheta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\vartheta−\mathrm{2}=\left(\vartheta−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{min}\:\mathrm{f}\left(\vartheta\right)=\:−\mathrm{3}\: \\ $$$$\:\mathrm{when}\:\vartheta=\mathrm{1}=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{30}°\right);\:\mathrm{x}=\mathrm{90}° \\ $$

Answered by mr W last updated on 19/Jan/22

f(x)=2 cos (2x−(π/3))−4 cos (x−(π/6)) f(x)=2 cos {2(x−(π/6))}−4 cos (x−(π/6)) f(x)=2 cos 2t−4 cos t f(x)=4 cos^2 t−4 cos t−2 f(x)=(2 cos t−1)^2 −3 f(x)_(max) =9−3=6 at cos t=−1 f(x)_(min) =0−3=−3 at cos t=(1/2)

$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\left({x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\left\{\mathrm{2}\left({x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\right\}−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\left({x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:{t} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{4}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:{t}−\mathrm{2} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$${f}\left({x}\right)_{{max}} =\mathrm{9}−\mathrm{3}=\mathrm{6}\:{at}\:\mathrm{cos}\:{t}=−\mathrm{1} \\ $$$${f}\left({x}\right)_{{min}} =\mathrm{0}−\mathrm{3}=−\mathrm{3}\:{at}\:\mathrm{cos}\:{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com