Question Number 166033 by mathlove last updated on 12/Feb/22
Commented by MJS_new last updated on 12/Feb/22
$$\mathrm{e}^{\mathrm{68}} \pi \\ $$
Answered by Eulerian last updated on 12/Feb/22
 = ∫_(−∞) ^( ∞) ((e^(69) L_t [cos(tx)](s))/((x^2 +1)^2 )) dx = ∫_(−∞) ^( ∞) (e^(69) /((x^2 +1)^2 ))∙((s/(s^2 +x^2 ))) dx = ∫_(−∞) ^( ∞) ((s∙e^(69) )/((s^2 +x^2 )(x^2 +1)^2 )) dx = ∫_(−∞) ^( ∞) s∙e^(69) [(A/((x^2 +s^2 ))) + ((Bx^2 +C)/((x^2 +1)^2 ))]dx By partial decomposition, we get: A(x^2 +1)^2 + (Bx^2 +C)(x^2 +s^2 ) = 1 (A+B)x^4 +(2A+Bs^2 +C)x^2 +(A+Cs^2 ) = 1 ∴ A = −B 2A+Bs^2 +C = 0 ⇒ B(2−s^2 ) = C A+Cs^2 = 1 ⇒ B = (1/(2s^2 −s^4 −1)) {A = (1/((s^2 −1)^2 )) ; B = −(1/((s^2 −1)^2 )) ; C = ((s^2 −2)/((s^2 −1)^2 ))} Therefore, we now have: L_t [F(t)](s) = ∫_(−∞) ^( ∞) ((se^(69) )/((x^2 +s^2 )(s^2 −1)^2 )) − ((se^(69) (x^2 −s^2 +2))/((s^2 −1)^2 (x^2 +1)^2 )) dx = se^(69) ∫_(−∞) ^( ∞) (1/((x^2 +s^2 )(s^2 −1)^2 )) dx − se^(69) ∫_(−∞) ^( ∞) (((x^2 +1)−(s^2 −1))/((s^2 −1)^2 (x^2 +1)^2 )) dx = ((se^(69) )/((s^2 −1)^2 )) [∫_(−∞) ^( ∞) (1/((x^2 +s^2 ))) dx − ∫_(−∞) ^( ∞) (1/((x^2 +1))) dx] + ((se^(69) )/((s^2 −1))) ∫_(−∞) ^( ∞) (1/((x^2 +1)^2 )) dx = ((se^(69) )/((s^2 −1)^2 )) [lim_(c→∞) (1/s) tan^(−1) ((x/s))∣_(x=−c) ^(x=c) − π] + ((se^(69) )/((s^2 −1))) ∫_(−∞) ^( ∞) (1/((x^2 +1)^2 )) dx ∫_(−∞) ^( ∞) (1/((x^2 +1)^2 )) dx =^(x = tan(𝛉)) ∫_(−(π/2)) ^( (π/2)) ((tan^2 θ+1)/((tan^2 θ+1)^2 )) dθ = (1/2)∫_(−(π/2)) ^( (π/2)) cos(2θ)+1 dθ = (1/2)∙[((sin(2θ))/2) + θ]_(−(π/2)) ^(π/2) = (π/2) ∴ L_t [F(t)](s) = ((se^(69) )/((s^2 −1)^2 )) [lim_(c→∞) (2/s) tan^(−1) ((c/s)) − π] + ((πe^(69) s)/(2(s^2 −1))) = ((πe^(69) s)/((s^2 −1)^2 ))∙((1/s) − 1) + ((πe^(69) s)/(2(s^2 −1))) = ((πe^(69) (s+2))/(2(s+1)^2 )) for Re(s) > 0 By taking the inverse laplace transform, we get: F(t) = L_s ^(−1) [((πe^(69) (s+2))/(2(s+1)^2 ))](t) = ((πe^(69) )/2) L_s ^(−1) [(1/(s+1)) + (1/((s+1)^2 ))](t) = ((πe^(69) )/2) ∙(e^(−t) + e^(−t) t) Finally, we can now get our exact form of answer: F(1) = ∫_(−∞) ^( ∞) ((e^(69) cos(x))/((x^2 +1)^2 )) dx = πe^(68) Solution by: Kevin](Q166061.png)
$$\: \\ $$$$\:\mathrm{Consider}\:\mathrm{an}\:\mathrm{initial}\:\mathrm{function}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right),\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{tx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{By}\:\mathrm{taking}\:\mathrm{the}\:\mathrm{laplace}\:\mathrm{transform}\:\mathrm{of}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}:\:\: \\ $$$$\:\mathcal{L}_{\mathrm{t}} \left[\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\right]\left(\mathrm{s}\right)\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \mathcal{L}_{\mathrm{t}} \left[\mathrm{cos}\left(\mathrm{tx}\right)\right]\left(\mathrm{s}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\centerdot\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{s}\centerdot\mathrm{e}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\mathrm{s}\centerdot\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \left[\frac{\mathrm{A}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)}\:\:+\:\frac{\mathrm{Bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{C}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right]\mathrm{dx} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\mathrm{By}\:\mathrm{partial}\:\mathrm{decomposition},\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\:\mathrm{A}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{Bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{C}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{2A}+\mathrm{Bs}^{\mathrm{2}} +\mathrm{C}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{A}+\mathrm{Cs}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\therefore \\ $$$$\:\mathrm{A}\:=\:−\mathrm{B} \\ $$$$\:\mathrm{2A}+\mathrm{Bs}^{\mathrm{2}} +\mathrm{C}\:=\:\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{B}\left(\mathrm{2}−\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{C} \\ $$$$\:\mathrm{A}+\mathrm{Cs}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{1}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{B}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{s}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\:\left\{\mathrm{A}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:;\:\mathrm{B}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:;\:\mathrm{C}\:=\:\frac{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\mathrm{Therefore},\:\mathrm{we}\:\mathrm{now}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\:\mathcal{L}_{\mathrm{t}} \left[\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\right]\left(\mathrm{s}\right)\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:−\:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{se}^{\mathrm{69}} \int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:−\:\mathrm{se}^{\mathrm{69}} \int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\left[\int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{dx}\:−\:\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{dx}\right]\:+\:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\left[\underset{\mathrm{c}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{s}}\right)\mid_{\mathrm{x}=−\mathrm{c}} ^{\mathrm{x}=\mathrm{c}} \:−\:\pi\right]\:+\:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\: \\ $$$$\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\overset{\boldsymbol{\mathrm{x}}\:=\:\boldsymbol{\mathrm{tan}}\left(\boldsymbol{\theta}\right)} {=}\:\int_{−\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{d}\theta\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\theta\right)+\mathrm{1}\:\mathrm{d}\theta\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\theta\right)}{\mathrm{2}}\:+\:\theta\right]_{−\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} =\:\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\therefore \\ $$$$\:\mathcal{L}_{\mathrm{t}} \left[\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\right]\left(\mathrm{s}\right)\:=\:\frac{\mathrm{se}^{\mathrm{69}} }{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\left[\underset{\mathrm{c}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{s}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{s}}\right)\:−\:\pi\right]\:+\:\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \mathrm{s}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \mathrm{s}}{\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\centerdot\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}}\:−\:\mathrm{1}\right)\:+\:\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \mathrm{s}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{s}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{Re}\left(\mathrm{s}\right)\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\mathrm{By}\:\mathrm{taking}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inverse}\:\mathrm{laplace}\:\mathrm{transform},\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\mathcal{L}_{\mathrm{s}} ^{−\mathrm{1}} \left[\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \left(\mathrm{s}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{s}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right]\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} }{\mathrm{2}}\:\mathcal{L}_{\mathrm{s}} ^{−\mathrm{1}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right]\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\frac{\pi\mathrm{e}^{\mathrm{69}} }{\mathrm{2}}\:\centerdot\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:+\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{t}\right) \\ $$$$\: \\ $$$$\:\mathrm{Finally},\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{now}\:\mathrm{get}\:\mathrm{our}\:\mathrm{exact}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{answer}: \\ $$$$\:\mathrm{F}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\int_{−\infty} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{69}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:\pi\mathrm{e}^{\mathrm{68}} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\boldsymbol{\mathrm{Solution}}\:\boldsymbol{\mathrm{by}}:\:\mathrm{Kevin} \\ $$