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Question Number 167173 by metamorfose last updated on 08/Mar/22

∫_(−2) ^(−1) e^(−(t/2)) (√(t+2)) dt = ???

$$\int_{−\mathrm{2}} ^{−\mathrm{1}} {e}^{−\frac{{t}}{\mathrm{2}}} \sqrt{{t}+\mathrm{2}}\:{dt}\:=\:??? \\ $$

Answered by metamorfose last updated on 08/Mar/22

let I=∫_(−2) ^(−1) e^(−(t/2)) (√(t+2)) dt I=2(√e)Σ_(n=1) ^∞ ((n!2^n )/((2n+1)!)) Let S=Σ_(n=1) ^∞ ((n!2^n )/((2n+1)!)) S=Σ_(n=1) ^∞ ((n!2^n )/((2n+1)!))=Σ_(n=1) ^∞ ((2^n Γ(n+1))/(Γ(2n+2))) =Σ_(n=1) ^∞ ((2^n Γ(n+1)Γ(n+1))/(Γ(n+1)Γ(2n+1))) =Σ_(n=1) ^∞ (2^n /(Γ(n+1)))B(n+1,n+1) =Σ_(n=1) ^∞ (2^n /(n!))∫_0 ^1 x^n (1−x)^n dx =∫_0 ^1 Σ_(n=1) ^∞ (((2x(1−x))^n )/(n!))dx =∫_0 ^1 e^(2x(1−x)) −1 dx =−1+∫_0 ^1 e^(−2x^2 +2x) dx =−1+∫_0 ^1 e^(−((√2)x−(1/( (√2))))^2 +(1/2)) dx =−1+(√(e/2))∫_(−(1/( (√2)))) ^(1/( (√2))) e^(−t^2 ) dt =−1+(√(2e))∫_0 ^(1/( (√2))) e^(−t^2 ) dt =−1+((√(2πe))/2)erf((1/( (√2)))) hence : I =−2(√e)+e(√(2π)) erf((1/( (√2))))

$${let}\:{I}=\int_{−\mathrm{2}} ^{−\mathrm{1}} {e}^{−\frac{{t}}{\mathrm{2}}} \sqrt{{t}+\mathrm{2}}\:{dt} \\ $$$${I}=\mathrm{2}\sqrt{{e}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}!\mathrm{2}^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$${Let}\:{S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}!\mathrm{2}^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}!\mathrm{2}^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} \Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} \Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{\Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)}{B}\left({n}+\mathrm{1},{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{n}!}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{n}} {dx} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right)^{{n}} }{{n}!}{dx} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)} −\mathrm{1}\:{dx} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{1}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}} {dx} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{1}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{−\left(\sqrt{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {dx} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{1}+\sqrt{\frac{{e}}{\mathrm{2}}}\int_{−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} {e}^{−{t}^{\mathrm{2}} } {dt} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}{e}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} {e}^{−{t}^{\mathrm{2}} } {dt} \\ $$$$\:\:\:=−\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}\pi{e}}}{\mathrm{2}}{erf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$${hence}\::\:{I}\:=−\mathrm{2}\sqrt{{e}}+{e}\sqrt{\mathrm{2}\pi}\:{erf}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$

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