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Question Number 167248 by mathlove last updated on 10/Mar/22

(√3^x )+1=2^x faind x=?

$$\sqrt{\mathrm{3}^{{x}} }+\mathrm{1}=\mathrm{2}^{{x}} \:\:\:\:{faind}\:{x}=? \\ $$

Commented by mr W last updated on 10/Mar/22

3^(x/2) +1=2^x 3+1=2^2 ⇒x=2

$$\mathrm{3}^{\frac{{x}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}^{{x}} \\ $$$$\mathrm{3}+\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{2} \\ $$

Answered by LEKOUMA last updated on 10/Mar/22

3^((1/2)x) +1=2^x ⇔ ln (3^((1/2)x) +1)=ln (2^x ) ⇔ ln (3^((1/2)x) )+ln (1)=ln( 2^x ) ⇔ ln 3^((1/2)x) +ln 1=ln 2^x , or ln 1=0 ⇔ (1/2)xln 3=xln 2 ⇔ xln 3=2xln 2 ⇔ xln 3−2xln 2=0 ⇔ x(ln 3−2ln 2)=0 ⇔ x=(0/(ln 3−2ln 2))=0 x=0

$$\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}^{{x}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}^{{x}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}} \right)+\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{ln}\left(\:\mathrm{2}^{{x}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}} +\mathrm{ln}\:\mathrm{1}=\mathrm{ln}\:\mathrm{2}^{{x}} ,\:{or}\:\:\mathrm{ln}\:\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}={x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}=\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{x}\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0} \\ $$

Commented by mr W last updated on 10/Mar/22

if x=0, then 1+1=1

$${if}\:{x}=\mathrm{0},\:{then} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$

Commented by mr W last updated on 10/Mar/22

where have you learnt ln (a+b)=ln a+ln b ?

$${where}\:{have}\:{you}\:{learnt} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\left({a}+{b}\right)=\mathrm{ln}\:{a}+\mathrm{ln}\:{b}\:? \\ $$

Commented by LEKOUMA last updated on 10/Mar/22

ok

$${ok} \\ $$

Answered by HeferH last updated on 10/Mar/22

3^((x/2) ) + 1 = 2^x 1 = 2^x − 3^(x/2) 2^2 − 3^1 = 2^x − 3^(x/2) then: x = 2

$$\: \\ $$$$\:\mathrm{3}^{\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:} \:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2}^{{x}} \\ $$$$\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2}^{{x}} \:−\:\mathrm{3}^{\frac{{x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{2}^{{x}} \:−\:\mathrm{3}^{\frac{{x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:{then}:\:\:{x}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\: \\ $$

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