Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Trigonometry Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Trigonometry      Next in Trigonometry      

Question Number 167443 by infinityaction last updated on 16/Mar/22

Answered by nimnim last updated on 16/Mar/22

x_1 ^2 (sin^2 θ+cos^2 θ)+x_2 ^2 +2x_1 x_2 cosθ=1 ⇒x_1 ^2 sin^2 θ+x_1 ^2 cos^2 θ+x_2 ^2 +2x_1 x_2 cosθ=1 ⇒(x_2 +x_1 cosθ)^2 =1−x_1 ^2 sin^2 θ........(i) Similarly, (y_2 +y_1 cosθ)^2 =1−y_1 ^2 sin^2 θ........(ii) Also, x_1 y_1 (sin^2 θ+cos^2 θ)+x_2 y_2 +(x_1 y_2 +y_1 x_2 )cosθ=0 ⇒x_1 y_1 sin^2 θ+x_1 y_1 cos^2 θ+x_2 y_2 +x_1 y_2 cosθ+y_1 x_2 cosθ=0 ⇒y_2 (x_2 +x_1 cosθ)+y_1 cosθ(x_2 +x_1 cosθ)=−x_1 y_1 sin^2 θ ⇒(x_2 +x_1 cosθ)(y_2 +y_1 cosθ)=−x_1 y_1 sin^2 θ ⇒(x_2 +x_1 cosθ)^2 (y_2 +y_1 cosθ)^2 =(−x_1 y_1 sin^2 θ)^2 ⇒(1−x_1 ^2 sin^2 θ)(1−y_1 ^2 sin^2 θ)=x_1 ^2 y_1 ^2 sin^4 θ ⇒1−y_1 ^2 sin^2 θ−x_1 ^2 sin^2 θ+x_1 ^2 y_1 ^2 sin^4 θ=x_1 ^2 y_1 ^2 sin^4 θ ⇒1=sin^2 θ(x_1 ^2 +y_1 ^2 ) ⇒x_1 ^2 +y_1 ^2 =(1/(sin^2 θ)) ⇒x_1 ^2 +y_1 ^2 =cosec^2 θ (Proved)

$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\right)+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\theta=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\theta=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta........\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Similarly},\:\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta........\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{Also},\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\right)+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{cos}\theta=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\theta+\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\theta=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)+\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)=−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)=−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\theta\right)^{\mathrm{2}} =\left(−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\right)=\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \theta \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\cancel{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \theta}=\cancel{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \theta} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{cosec}^{\mathrm{2}} \theta\:\:\left(\mathrm{Proved}\right) \\ $$

Commented by infinityaction last updated on 17/Mar/22

thank you sir

$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com