Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 167930 by mkam last updated on 29/Mar/22

y^(′′) − y^′ − 6y = xe^x sinx

$$\boldsymbol{{y}}\:^{''} \:−\:\boldsymbol{{y}}^{'} \:−\:\mathrm{6}\boldsymbol{{y}}\:=\:\boldsymbol{{xe}}^{\boldsymbol{{x}}} \:\boldsymbol{{sinx}} \\ $$

Commented by mokys last updated on 29/Mar/22

????

$$???? \\ $$

Answered by qaz last updated on 30/Mar/22

y_p =(1/((D−3)(D+2)))xe^x sin x =(1/5)e^x ℑ((1/(D−2))−(1/(D+3)))xe^(ix) =(1/5)e^x ℑe^(ix) ((1/(D−2+i))−(1/(D+3+i)))x =(1/5)e^x ℑe^(ix) (−(1/((2−i)(1−(D/(2−i)))))−(1/((3+i)(1+(D/(3+i))))))x =(1/5)e^x ℑe^(ix) (−(1/(2−i))(1+(D/(2−i))+...)−(1/(3+i))(1−(D/(3+i))+...))x =(1/5)e^x ℑe^(ix) (−(1/(2−i))(x+(1/(2−i)))−(1/(3+i))(x−(1/(3+i)))) =(1/5)e^x ℑe^(ix) (−(7/(10))x−(i/(10))x−(1/(25))−((11)/(50))i) =−(1/5)e^x (((7/(10))x+(1/(25)))sin x+((1/(10))x+((11)/(50)))cos x) ⇒y=C_1 e^(3x) +C_2 e^(−2x) −(1/5)e^x (((7/(10))x+(1/(25)))sin x+((1/(10))x+((11)/(50)))cos x)

$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{D}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{D}+\mathrm{2}\right)}\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \Im\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}+\mathrm{3}}\right)\mathrm{xe}^{\mathrm{ix}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \Im\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}−\mathrm{2}+\mathrm{i}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}+\mathrm{3}+\mathrm{i}}\right)\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \Im\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{2}−\mathrm{i}}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{3}+\mathrm{i}}\right)}\right)\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \Im\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{i}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{2}−\mathrm{i}}+...\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{i}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{3}+\mathrm{i}}+...\right)\right)\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \Im\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{i}}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{i}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{i}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{i}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \Im\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{10}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{10}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{50}}\mathrm{i}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{10}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{50}}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{3x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{10}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{50}}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com